Konstrukční úlohy

Dnešní lekce matematiky je z velké části společná pro žáky 5. i 9. tříd

body, které neleží na jedné přímce. Nazýváme je vrcholy. Spojnice vrcholů nazýváme strany a podle jejich délky označujeme trojúhelník za obecný (strany jsou libovolně dlouhé), rovnoramenný (dvě strany mají stejnou délku) a rovnostranný (všechny strany jsou stejně dlouhé). Jeden z vnitřních úhlů v trojúhelníku může být pravý, pak takový trojúhelník nazýváme pravoúhlý.

středová souměrnost patří mezi shodná zobrazení, avšak jak sám název napovídá, souměrnost je dána středem souměrnosti S, kdy bodem A vedeme přímku procházející středem souměrnosti S a nový bod A1 leží na této přímce. Jeho vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A od bodu S a leží na opačné polopřímce k polopřímce SA.

Zlatá rada: Vždy si nejprve načrtněte řešení. Pokud je úkolem sestrojit např. čtverec ABCD, načrtněte si čtverec, pojmenujte jeho vrcholy (ať vidíte, který vrchol sousedí s kterým) a do obrázku pak dokreslete i zadání. Pokud nějaká strana leží na přímce, načrtněte si přímku. Pokud má kružnice nějaký střed nebo prochází danými vrcholy, načrtněte si příslušnou kružnici apod. Okamžitě pak uvidíte, jak se ze zadání dostanete k výsledku.

Poznámka:

Pokud je zadané jméno výsledného obrazce například ABCD, vrcholy musí jít za sebou skutečně v tomto pořadí. Je ale jedno, zda po směru, nebo proti směru hodinových ručiček.

... a dodatek pro devátou třídu (a pro všechny zvídavé) Pro narýsování kružnice stačí znát například její střed a poloměr. Ale kružnici můžeme sestrojit také každému trojúhelníku, aniž bychom dopředu znali zmíněný střed a poloměr, a to buď kružnici opsanou, nebo vepsanou.

Kružnice vepsaná (viz obrázek dole) se dotýká všech tří stran trojúhelníku a sestrojíme ji pomocí os úhlů. Průsečík os úhlů je střed kružnice vepsané (pro nalezení středu nám opět postačí narýsovat dvě osy úhlů). Poloměr vepsané kružnice je dán vzdáleností jejího středu a libovolné strany (určíme jej po sestrojení kolmice ze středu na libovolnou stranu).

Speciálním případem je Thaletova kružnice. Mějme například úsečku KL se středem S. Kružnice se středem v bodě S a poloměrem zadaným vzdáleností bodů S a K se nazývá Thaletova kružnice. Pro všechny body (označené například M) na Thaletově kružnici mimo K a L platí, že jsou vrcholem pravoúhlého trojúhelníku KLM. V tomto trojúhelníku je úsečka KL přeponou.

Posledním objektem, který si připomeneme, je lichoběžník. Jedná se o čtyřúhelník, jehož dvě protilehlé strany jsou spolu rovnoběžné. Zbylé dvě strany se nazývají ramena. Pokud mají ramena stejnou délku, mluvíme o rovnoramenném lichoběžníku. Pokud je jeden úhel v lichoběžníku pravý (musí tam pak být ještě jeden), mluvíme o pravoúhlém lichoběžníku. 1.1 Sestrojte čtverec KLMN. Najděte všechna řešení.

1.2 Sestrojte čtverec KPLR.

____

2. V rovině je dána úsečka DE a bod T mimo ni.

Bod T je vrcholem rovnostranného trojúhelníku TUV. Strana TV je rovnoběžná s úsečkou DE a délka strany trojúhelníku je stejná jako délka úsečky DE. Najděte všechna řešení.

_____

3. V rovině je dána přímka p, bod F, který leží na přímce p ,abod E, který leží mimo přímku p. 5.1 Sestrojte a označte písmenem osu souměrnosti o obdélníku ABCD procházející bodem O.

5.2 Sestrojte a označte písmeny vrcholy obdélníku ABCD a obdélník narýsujte.

____

6. Je dána úsečka UV, bod X a přímka p.