Slovní úlohy III
Kdy se vyplatí nakreslit si k matematické úloze obrázek
Již potřetí se budeme v našem seriálu věnovat slovním úlohám. Ukážeme si úlohy, v nichž dochází často k malým chybám, které jsou ale pro výsledek úlohy rozhodující. Někdo by mohl říci, že jde o chytáky. Věříme ale, že vy už se nachytat nenecháte a že vše správně spočítáte. Dále si ukážeme úlohy, kde se nám velice vyplatí nakreslit si obrázek. Pomocí obrázku a obrázkového počítání pak už opět úlohy dopočítáme.
Dělení celé délky a počty mezer
Začněme krátkou úvahou. Představme si, že máme čtyři kostky a ty postupně lepíme na sebe tak, aby vytvořily věž. Kolik spojů bude mezi kostkami? Ačkoliv byly použity čtyři kostky, spoje jsou pouze tři. V tomto případě jsme uvažovali tak malý počet kostek, že načrtnutí obrázku zabralo jen minimum času.
Použití nákresu pomáhá nejen při konstrukčních úlohách, proto ho neváhejme využít.
Na dalším příkladu si ukážeme uplatnění podobné myšlenky jako v úloze výše a naším úkolem tentokrát bude rozdělit předmět na určitý počet částí.
Jitka má stuhu o celkové délce 350 cm. Stuhu je třeba rozdělit třinácti střiženími na stejně dlouhé části. Určete v cm délku jedné části.
Nenechme se zmást a ukvapeně nepracujme s jedinými dvěma čísly, která se v zadání vyskytují. Pokud máme provést třináct střižení, stuhu tak rozdělíme celkem na čtrnáct částí. Délku 350 cm tedy musíme rozdělit na 14 částí.
350cm:14=25cm
Jedna část stuhy je dlouhá 25 cm.
Vidíte, že předchozí úloha vás láká, abyste se nechali nachytat a dělili třinácti. I v další úloze je schovaný stejný chyták.
K čarodějově chaloupce na kuří noze vede provazový žebřík, který je zavěšen svisle dolů. Žebřík má 15 příček, mezi nimiž je pokaždé stejná mezera 20 cm. Nad horní příčkou je k podlaze chaloupky 25 cm. Od země je k nejbližší příčce 30 cm. Šířka jedné příčky je 1 cm. Jak vysoko je podlaha chaloupky od země?
Pozor! Žebřík má sice 15 příček, ale mezi nimi je jen 14 mezer!
Takže délka žebříku = mezera k první příčce + mezera od poslední příčky + součet všech mezer mezi první a patnáctou příčkou + součet šířek všech příček. Délka=30cm+25cm+14·20cm+15·1cm=
= 55 cm + 280 cm + 15 cm = 350 cm. Podlaha chaloupky je 350 cm od země.
řešit umíme. Pokud si nevíte rady, nakreslete si obrázek a ten vám pomůže.
= 120 Kč
= 400 Kč
Z prvního obrázku vidíme, že jedna dvojice letadla a autíčka stojí 120 Kč. Nyní totiž stačí každou dvojici letadla a autíčka, ve druhém obrázku, nahradit právě těmi 120 Kč a dostaneme, že
+ 120 Kč + 120 Kč = 400 Kč, a to je obrázkové počítání, které již snadno dokončíme a zjistíme, že jedno letadlo stojí 80 Kč. A protože společně s autíčkem stálo 120 Kč, je tak jasné, že autíčko stojí 40 Kč.
Podobné úlohy tak vždy řešíme vhodným sčítáním nebo také odčítáním zadaných údajů.
Další typickou úlohou je příklad, ve kterém ze sudu odléváme vodu nebo do koše přidáváme jablka apod. Zkrátka, kdy má nádoba nějaký obsah, ale my neznáme ani hmotnost nádoby ani obsahu.
Konev plná vody váží 13 kg. Když polovinou vody z konve zalijeme záhon, váží konev se zbytkem vody 8 kg. Kolik váží prázdná konev? Kolik váží konev, která je z pětiny plná vody?
Unáhleným postupem by opět bylo, pokud byste se bez zamyšlení chytili jediných čísel, která se v zadání objevují. Lepší bude si situaci dobře nakreslit a pak se podívat, jak se obrázky liší.
Pokud od sebe obrázky „odečteme“(tj. podíváme se, jak se liší) dostaneme:
Utekl vám začátek seriálu? Předplatné lze objednat na tel. 225 555 533 nebo na www.lidovenoviny.cz/prijimacky. V ceně předplatného je i přístup do digitálního archivu Lidových novin, o žádný díl tak nepřijdete.
Vtestech od Cermatu se setkáte s geometrií, a to jak v konstrukčních, tak v početních úlohách. V dnešním dílu se budeme věnovat právě početní geometrii, konkrétně povrchům a objemům geometrických útvarů. V testovacích úlohách se často setkáte s tělesy (3D objekty). Studenti s těmito úlohami mají velké problémy. Matematicky tyto úlohy nejsou vůbec těžké. Největší potíž je v tom, že studenti si tělesa nedokážou představit, a také v tom, že záleží na každém slovíčku.
Kolmý hranol je těleso, které je kolmé na svou podstavu (podstavou může být libovolný mnohoúhelník). Pokud je podstavou kruh, pak tomuto tělesu říkáme válec. Počet hran v podstavě nám říká, kolik má hranol boků. Takže pokud je podstavou trojúhelník, mluvíme o trojbokém hranolu, pokud je podstavou obdélník (kosočtverec, lichoběžník…) mluvíme o čtyřbokém hranolu atd. Vzdálenost obou podstav („dno“a „víčko“) se nazývá výška hranolu a značíme ji v.
Dobře si prohlédněte obrázky: trojboký hranol čtyřboký hranol pětiboký hranol ____________________________________ Matematické tabulky jsou plné vzorců na výpočet povrchu, a studenti tak mají pocit, že je toho moc. Ale je to mnohem snazší. Musíte si ale těleso „rozbalit“. Povrch je pak součet obsahů jednotlivých částí, což jsou různé trojúhelníky a obdélníky a to snadno zvládneme.
Tak například povrch krychle
je složen ze šesti čtverců, její povrch tak vypočteme jako S =6· a2,
kdy číslo šest vyjadřuje počet čtverců a a2 obsah jednoho čtverce. U hranolu
s podstavou čtverce bychom jeho povrch vypočítali jako
S =2· a av,
neboli dvakrát obsah čtvercové podstavy a čtyřikrát boční obdélníková stěna.
Podobně snadné je to i s jehlanem a válcem.