Početní geometrie

Jak lze využít čtvercové sítě a k čemu je osová souměrnost

Geometrické úlohy, ve kterých se rýsuje, jsme už procvičili, nyní se podíváme na geometrické úlohy řešené pomocí výpočtů. Ukážeme si pár způsobů, jak může být úloha zadaná, jak maximálně využít čtvercové sítě a co je to osově souměrný útvar.

Nejprve si zopakujme, že obvod (značíme o) popisuje součet délek všech stran, které ohraničují nějaký útvar v rovině, a jeho hodnota je uvedena v jednotkách délky tj. km, m, cm, mm apod.

Pozor: Počítáme-li obvod celého obrazce, chceme znát součet délek všech stran, které obrazec ohraničují. Strany, které jsou v obrazci také naznačeny, ale neohraničují ho, do obvodu nepočítáme.

Čtverec má obvod 12 cm. Ze tří těchto čtverců byl složen obdélník tak, že jsme tři čtverce spojili vedle sebe. Určete obvod obrazce.

Jakmile se jedná o geometrické úlohy, platí ještě více než jindy, že byste si měli situaci nakreslit. Ti, kteří si situaci neumí vybavit, by mohli podlehnout představě, že obrazec, který je složený z třikrát více čtverců, bude mít třikrát větší obvod, ale není to pravda.

Na delší stranu obdélníku se jich vedle sebe do jedné řady vejde 5, a protože druhá strana obdélníku má 3 cm, pak tyto řady jsou v obdélníku 3. Obsah obdélníku tak je 15 cm2.

Obsah čtverce o straně a cm, tak vypočítáme S = a · a cm2.

Často musíme řešit opačnou úlohu. Známe obsah čtverce a musíme dopočítat délku strany.

Mějme čtverec o obsahu 49 cm2, vypočtěte délku jeho strany.

Častou začátečnickou chybou je bláhová představa, že stranu z obsahu vypočítáme tak, že obsah vydělíte čtyřkou. K tomu ale není důvod. Však při výpočtu obsahu čtyřkou nenásobíte.

A jak je to tedy správně? Délka strany v cm je daná takovým číslem, které splňuje, že když jej vynásobíme sebou samým, pak výsledek je 49. Hledaná délka strany je tak 7 cm, protože 7cm·7cm=49cm2.

Pomocí čtvercové sítě lze snáz odhalit, jakou velikost mají útvary v ní zakreslené. Jednodušší orientaci nám zaručují právě čtverečky, ze kterých se síť skládá, přičemž všechny jsou stejně velké. Jak tedy s čtvercovou sítí pracovat? Opět si ukážeme na příkladu.

Vypočítejte obsah zelené plochy ve čtvercové síti.

Posledním typem úlohy, se kterým se můžete u geometrických úloh setkat, jsou úlohy na osovou souměrnost. Tu jsme také již zmínili v kapitole o rýsování a říkali jsme si, jaké vlastnosti mají zobrazené útvary.

V příkladech dnešní kapitoly se setkáváme s úlohou opačnou, tj. máme rozhodnout, zda daný útvar je osově souměrný. Ptáme se tak, zda existuje taková přímka (nazýváme ji osa), podle které se útvar zobrazí sám na sebe.

Kdybychom tedy například takový útvar vytištěný na papíře přeložili podle osy, obě části se plně překryjí.

U trojúhelníků nezapomeňte na skutečnost, že libovolná 3 čísla nemusí vždy znamenat délky stran trojúhelníku.

Například trojúhelník o délkách stran 4 cm, 5 cm a 12 cm neexistuje. Délky stran musejí splňovat trojúhelníkovou nerovnost, proto součet každých dvou stran musí být vždy větší, než je délka zbývající strany.