Z města A do města B

Úlohy na pohyb a úlohy řešené pomocí výrazů a rovnic MATEMATIKA 9. TŘÍDA

se auto k autobusu přiblíží o 48 km. Za dvě hodiny už by to bylo celkem 96 km.

Tady už platí přímá úměrnost, takže snadno vypočítáme, že doba, kterou musí auto jet je

60 : 48 = 1,25, tedy 1 a čtvrt hodiny. Za tuto dobu ujede auto

128 · 1,25 = 160 km. A tam se s autobusem setkají, budou tedy 160 km od Plzně.

Druhá možnost je, že budeme využívat vzorec případně jeho analogických zápisů a s = v · t.

Důležité je ve vzorci používat správné jednotky: chceme-li rychlost v počítat v km/h, pak dráhu s musíme mít v kilometrech a dobu jízdy t v hodinách. Pozor!: t je opravdu doba jízdy. Zmatení studenti sice vědí, že t znamená čas, ale klidně za t dosadí čas, kdy auto vyjelo. To je ale špatně.

Chceme-li používat vzorečky a rovnici, tak potřebujeme zjistit, co se nám rovná - co napsat na jednotlivé strany rovnice. V našem příkladu je to určitě dráha, protože autobus se má s automobilem potkat (dohonit), proto musí urazit od Plzně stejnou vzdálenost.

Vše si zapíšeme přehledně do tabulky (viz obrázek A), a pak sestavíme rovnici a vyřešíme.

Jedinou neznámou je doba jízdy autobusu. Dobu jízdy auta nemusíme zapisovat novou neznámou, my víme, že auto vyjede o 0,75 h později. Dráhy obou vozidel jsou shodné a dostaneme rovnici, kterou vyřešíme.

80t = 128(t – 0,75)

80t = 128t –96

48t =96

t =2

Autobus tak jel 2 hodiny (rychlostí 80 km/h) a ujel tak vzdálenost 160 km a automobil jel 1,25 hodiny (rychlostí 128 km/h) a ujel , také 160 km. Příklad máme dobře a hezky nám vyšel.

Podívejme se ještě na úlohu:

Z vesnice jede Stela na kole na zahradu k dědovi. Zahrada je od vesnice 22 km daleko. Stela vyjede v 8:10 a jede rychlostí 15 km/h. V 9:00 vyjde děda Stele naproti a jde rychlostí 4 km/h. V kolik hodin a jak daleko od zahrady se Stela s dědečkem setká? Úvaha: Než děda vyjde, jede Stela 50 minut = 5/6 hodiny.

Za tu dobu ujede

12,5 km (= 15 km/h · 5/6 h). Na zahradu jí tak zbývá 9,5 km. V tu chvíli vyjde děda a začnou se k sobě přibližovat. Stela za každou hodinu ujede 15 km, děda ujde 4 km, proto se k sobě každou hodinu přiblíží o 19 km. Vzdálenost 9,5 km, tak k sobě urazí za 0,5 h (= 9,5 km : 19 km/h). Potkají se tak v 9:30, 2 km od zahrady. Rovnice a tabulka (viz obr. B):

Zde samozřejmě neplatí, že vzdálenost, kterou ujede Stela, je stejná jako ta dědova. Rovnici musíme sestavit jinak. Celá vzdálenost od vesnice na zahradu je rozdělena na 2 části. Jednu ujede Stela a druhou děda. Součet těchto částí tak dá celou vzdálenost.

Stela jede 4/3 hodiny (= 80 minut) a ujede tak celkem 20 km. Děda jde 1/2 hodiny (= 30 minut) a ujde 2 km. Setkají se tak v 9:30 ve vzdálenosti 2 km od zahrady.