Kde žáci často chybují
Nejčastější začátečnické chyby ve slovních úlohách MATEMATIKA 5. TŘÍDA
Dnešní slovní úlohy nejsou moc obtížné. Setkají-li se s nimi žáci poprvé, často je podcení a dělají začátečnické chyby. A na ně nyní upozorníme.
Velká skupina úloh by se mohla jmenovat „úlohy na mezery“, mohou mít různé tvary, ale myšlenka je v nich vždy stejná a na jeden objekt se často zapomíná nebo se chybně započítá jeden navíc. Co máme na mysli?
Žebřík má celkem 8 příček. Tloušťka každé příčky je 4 cm. Mezery mezi příčkami jsou stejně široké a každá má 25 cm. Mezera od začátku žebříku k první příčce je 27 cm široká a mezera od poslední příčky k vrcholu žebříku má 31 cm. Vypočtěte délku celého žebříku.
Musíme si uvědomit, že mezi první a osmou příčkou je jen sedm mezer! Na závěr nesmíme zapomenout připočítat kousky před 1. příčkou a za 8. příčkou. Délka žebříku tak je 8·4cm+7·25cm+27cm+ + 31 cm = 265 cm.
Na drátě sedělo 24 vlaštovek. Poté přiletělo hejno vrabců a mezi každé 2 sousední vlaštovky si sedli 2 vrabci. Kolik sedělo na drátě ptáků celkem?
Mezi 24 vlaštovkami je 23 mezer. V každé mezeře byli 2 vrabci, celkem tak na drátě sedělo
24 + 2 · 23 = 70 ptáků.
Pozor ale při počítání opačné úlohy:
Na drátě seděly vlaštovky. Pak přiletěli vrabci a do každé mezery mezi 2 vlaštovky si sedli 3 vrabci. Celkem pak na drátě sedělo 65 ptáků. Kolik vlaštovek sedělo na drátě?
Na drátě sedí vždy 1 vlaštovka a pak 3 vrabci a znovu 1 vlaštovka a 3 vrabci. Tyto skupiny se neustále opakují, až na konci sedí 1 vlaštovka, která celé hejno uzavírá. Proto musíme nejprve odečíst tuto vlaštovku navíc,
65 – 1 = 64. Těchto 64 ptáků je tvořeno několika skupinami ze 4 ptáků (1 vlaštovka + 3 vrabci), počet těchto skupin (a proto i vlaštovek mimo tu odečtenou) je tak 64 : 4 = 16. Na drátě sedělo 17 vlaštovek.
V roce 1950 se začaly v jedné obci pravidelně konat prodejní trhy a konaly se pravidelně bez přerušení každý rok. Kolikátý ročník těchto trhů se bude konat v roce 2021?
Jistě tušíte, že budeme používat odčítání, ale pozor! V roce 1950 se konaly 1. trhy. A teď pozor, sice 1951 – 1950 = 1, ale v roce 1951 se konaly 2. trhy. A podobně 1952 – 1950 = 2, ale konaly se 3. trhy. A protože 2021 – 1950 = = 71, tak už víme, že v roce 2021 se bude konat 72. ročník trhů.
Tatínek rozřeže celý trám na 4 kusy za 6 minut. Za jak dlouho rozřeže trám na 8 kusů?
Pokud si myslíte, že 8 kusů bude trvat 2krát déle než 4 kusy, tak je to mýlka. Nelze jednoduše uplatnit přímou úměrnost, musíte se nad úlohou zamyslet podrobněji.
Aby tatínek rozřezal celý trám na 4 kusy, musí řezat jen 3krát! Tyto 3 řezy mu zaberou 6 minut, proto 1 řez trvá 2 minuty (až tady je použití přímé úměrnosti správně). Takže když chce tatínek rozřezat trám na 8 kusů, musí říznout 7krát. A bude mu to tak trvat 14 minut (= 7 · 2 minuty).
Dostali jste velkou bonboniéru, již tvoří dřevěná krabička plná bonbonů. Celá bonboniéra váží 1 kg. Sníte-li čtvrtinu bonbonů, bude hmotnost bonboniéry 825 g. A) Určete hmotnost bonboniéry, když sníme polovinu bonbonů. B) Určete hmotnost dřevěné krabičky.
Jde o další úlohu, kde nelze použít přímou úměrnost hned. Začátečníci si často řeknou, že když celá bonboniéra váží
1 kg = 1 000 g, tak s polovinou bonbonů bude vážit polovinu, tj. 500 g, ale to není pravda. Polovina bonbónů totiž není polovina bonboniéry. To byste s polovinou bonbonů museli sníst i polovinu
krabičky! Ale dřevěná krabička zůstává celá. Nejlepší je si situaci nakreslit (viz obrázky dole). Pokud od plné bonboniéry odečteme bonboniéru, kde chyběla čtvrtina bonbonů, získáme hmotnost čtvrtiny bonbonů. Čtvrtina všech bonbonů má tedy hmotnost 175 g, hmotnost poloviny bonbonů je tak 350 g (= 2 · 350 g). Hmotnost bonboniéry, ve které chybí polovina bonbonů, je proto 650 g (= 1 000 g – 350 g). A protože polovina bonbonů má hmotnost 350 g, tak je jasné, že hmotnost všech bonbonů je 700 g. Prázdná dřevěná krabička má tudíž hmotnost
300 g (= 1 000 g – 700 g).