Základní výpočty

Látka společná pro 5. i 9. třídu: Bez výpočtů se neobejdete v žádném ročníku

Přesně jak uvádíme v podtitulku – bez výpočtu se skutečně v žádném ročníku neobejdete. Proto bude úvodní výkladová lekce společná pro studenty pátých i devátých tříd, deváťákům následně výpočty rozšíříme ještě o zlomky.

Proč klademe takový důraz na výpočty? Pro zvládnutí učiva i pro úspěch u přijímacích zkoušek je třeba osvojit si mnohé matematické dovednosti: řešit slovní úlohy, převody jednotek, úlohy o geometrických obrazcích a spoustu dalších. Nic z toho ale nezvládnete bez prostých výpočtů.

Pokud totiž uděláte chybu ve výpočtu, budete mít celý příklad špatně, i kdyby všechny ostatní úvahy byly správné. Procvičujte tak výpočty, ať si nepokazíte zbytek písemky a také proto, aby vám základní početní operace šly rychle a ať neztrácíte s výpočty čas. Počítání by mělo být automatické, protože u přijímaček budete muset vymyslet spoustu postupů a uskutečňovat je budete pomocí výpočtů.

Vypočtěte: a)115–15·(10–2·4)= b)1800:(35–35:7)=

Krásné příklady, ve kterých se ale často chybuje. Nepochybně každý student páté i deváté třídy ví, že násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. Jenomže je velký rozdíl mezi tím umět matematické pravidlo nazpaměť a umět toto pravidlo použít.

Častou chybou v prvním příkladu je, pokud spočítáte

115 – 15 = 100.

Je to sice lákavé, výsledek by byl hezký, ale nesmíte se nechat nachytat. Za číslem 15 je násobení a to má před odčítáním přednost! Jenže ještě větší přednost má závorka. A uvnitř závorky je opět odčítání a násobení. My už ale víme, co má přednost. Úplně první výpočet v celé úloze, který spočítáme, je tak násobení

2 · 4 = 8. A to i přesto, že jsme zvyklí číst zleva doprava a tento výpočet je až na konci vpravo. Má ale největší přednost a musíme s ním začít.

Vypočtěte:

Jaké číslo dostaneme, jestliže od dvojnásobku součtu čísel 12 a 8 odečteme šestinásobek jejich rozdílu?

Tato úloha nebude určitě problém, pokud víte, že součet je výsledek po sčítání, rozdíl je výsledek po odčítání, součin je výsledek po násobení a podíl je výsledek po dělení.

Příklad tak pomocí matematického zápisu vypadá následovně: 2·(12+8)–6·(12–8)= =2·20–6·4=40–24=16 Dostaneme číslo

V písemce se setkáte s úlohami, ve kterých je vaším úkolem zapsat všechny výpočty a nesmíme zapomenout napsat slovní odpověď. I ta je součástí úlohy a shrnuje, k čemu jsme výpočtem dospěli. Takovým úlohám se říká otevřené a vše, co vypočítáte, musíte také napsat do záznamového archu. Samotný výsledek tak nemusí stačit, i kdyby byl správný! Oproti tomu uzavřená úloha je taková, kde stačí správný výsledek vybrat z nabízených možností, nebo stačí odpovědět, zda otázka platí (ANO) nebo neplatí (NE).

Studenti ve výpočtech snadno ztrácejí čas. Není to ale jen proto, že by počítali pomalu, ale i proto, často počítají zbytečně.

Vypočtěte:

Ve všech těchto příkladech téměř nemusíme počítat. V prvním příkladu je první součin úplně stejný jako ten na konci, oba se vzájemně odečtou a výsledek první úlohy je tak 31.

V druhé úloze si zase všimneme, že neustále přičítáme číslo 31. Nejprve 7krát, potom ještě jednou a nakonec ještě 2krát. Celkem tedy 10krát a 10 · 31 je 310.

V posledním příkladu si všimneme, že výsledek ve druhé závorce je nula a tu první vůbec nemusíme počítat. Když násobíme nulou, výsledek vždy vyjde nula.

Jste si jistí, že znáte všechna pravidla o přednostech matematických operací? Podívejme se na dva příklady:

Vypočtěte:

a)30:5·3 b)6·2:(1+1)

Zde se studenti občas dohadují, zda má přednost násobení či dělení. Víme, že násobení a dělení by mělo přednost před sčítáním a odečítáním, ale co když je tam jen násobení a dělení? Pak počítáme zkrátka zleva doprava. Proto:

a)30:5·3=6·3= 18

b)6·2:(1+1)=12:2=6

Nyní se více podíváme na dělení.

Vypočtěte:

Kterým číslem jsme dělili číslo 1 258, je-li výsledný podíl 83 a zbytek po dělení je 13?

Když odečteme zbytek od dělence (číslo, které dělíme), dostaneme číslo, které už lze dělit číslem 83 beze zbytku.

1 258 – 13 = 1 245. A protože výsledek dělení je 83, hledaný dělitel (číslo, kterým dělíme) najdeme opět dělením. 1 245 : 83 = 15. Dělili jsme číslem 15.

Platí tedy 1 258 : 15 = 83 zb. 13

Nakonec si můžeme spočítat první slovní úlohu naší přípravy: Tatínek má na nákup dárků 8 900 Kč. Nakoupí tři stavebnice, dvě autíčka a čtyři vláčky. Jedna stavebnice stojí 692 Kč, jedno autíčko 530 Kč a jeden vláček 1 096 Kč. Za zbylé peníze chce koupit dortíky pro všechny členy rodiny. Kolik těchto dortíků může dokoupit, je-li cena jednoho dortíku 46 Kč?

Doporučujeme si vše dobře zapsat, abychom na nic nezapomněli. Matematicky je ale úloha snadná. Je to prosté sčítání, násobení, odčítání a dělení.

3 stavebnice … 3 • 692 Kč = =2076Kč

2 autíčka … 2 • 530 Kč = =1060Kč

4 vláčky … 4 • 1 096 Kč = =4384Kč

Cena nákupu … 2 076 Kč + +1060Kč+4384Kč=7520Kč Zbylé peníze … 8 900 Kč – –7520Kč=1380Kč

Počet dortíků, které může tatínek dokoupit: 1 380 Kč : 46 Kč = 30

Zlomky jen pro deváťáky

Někteří studenti se snaží „nepříjemnost“v podobě zlomků obejít počítáním na kalkulačce nebo pomocí desetinných čísel, ale ničím si nepomohou. Bez zlomků se opravdu neobejdete. Neexistuje způsob, jak se jim vyhnout. Zlomek je vlastně jen

9

jiný zápis pro dělení.

 9:4

Pokud bychom chtěli 4

zlomek vyjádřit jako desetinné číslo, tak stačí jen provést dělení,

9 proto . Naopak, pokud  2, 25

4 bychom chtěli desetinné číslo převést na

zlomek, tak ho nejprve musíme umět správně přečíst. Např. 0,8 se čte: žádná celá a osm desetin. Takže prostě

8

napíšeme ale

10

ještě není zcela správně napsaný, protože není v základním tvaru. To znamená, že i čitatel (číslo nahoře) i jmenovatel (číslo dole) můžeme dělit stejným číslem

(a nemyslíme tím číslo 1, protože tím lze dělit každé číslo). Takže

84  24



10 5  25 

Tomuto zjednodušení říkáme krácení.

6 5

Pozor na chybný příklad! Nepozorný student má 6

radost a myslí si, že zlomek lze zjednodušit, protože čísla 6 může zkrátit a provede toto:

61

6  5  51 5

 6

6 61

to je ale obrovská katastrofa a bohužel častá chyba. Krátit můžeme jen, pokud v celém čitateli a jmenovateli je součin a tady v čitateli součin nemáme, je tam součet. V tomto příkladu zkrátka krátit nelze a správný

6  5 11

výpočet je jednoduchý 

6 6

 4   2 5  1

Jak by se ale krátit dalo, ukazuje následující příklad, který si nachystáme tak, abychom krátit mohli, tedy, abychom v čitateli i jmenovateli měli součin:

   7   4

Nejsnadnější operací se zlomky (možná překvapivě) není sčítání a odčítání, ale násobení. Při násobení dvou zlomků stačí mezi sebou jen vynásobit čitatele (ta čísla nahoře) a jmenovatele (čísla dole) a tím dostaneme výsledek. Např.

 



Dělení provedeme tak, že druhý zlomek otočíme (převrátíme) a z dělení se stane násobení, např.

5 7 5 6 30

: 

8 6 8 7 56

Na konci ještě nezapomeneme vykrátit číslo 2, aby zlomek byl

30 15  2 15

v základním tvaru

 

Abychom mohli

56 28  2 28

sčítat a odčítat, musí mít zlomky stejné jmenovatele, jinak to prostě nejde. A pokud nejsou stejní, vhodnými úpravami zařídíme, aby byli.

Např. 

vidíme, že zlomky nemají stejné jmenovatele, takže nelze sčítat. Můžeme ale zlomky chytře vynásobit jedničkou. Tím jeho hodnotu nezměníme, ale dosáhneme požadovaného tvaru. Chceme ve jmenovatelích stejné číslo. Bude to společný násobek čísel ze jmenovatelů (ideálně nejmenší společný násobek). Společný násobek čísel 6 a 9 je číslo 18. Abychom ze 6 udělali 18, musíme násobit trojkou. A z 9 uděláme 18 násobením dvěma. Proto

141  34  238

  696  39  2 18 18

Tomuto triku se říká rozšiřování. Nezměnili jsme hodnotu zlomků, ale změnili jsme jejich zápis tím, že jsme čitatele i jmenovatele vynásobili stejným číslem. Tím jsme tak násobili chytře napsanou jedničkou a zajistili jsme, že hodnota zlomků se nezměnila.

Součet už dokončíme snadno. Čitatele sečteme. Jmenovatele opíšeme. Úplně nakonec (pokud to lze) krátíme, aby výsledek byl v základním tvaru. Takže

  11

 

6  3 9  2 18 18 18

Odčítání zlomků provádíme stejně. Převedeme na společného jmenovatele a pak čitatele odečteme. Je-li čitatel větší než jmenovatel, můžeme zlomek zapsat pomocí smíšeného

17 7 10 čísla. Např. 1 , protože

10 10 10

tvoří 1 celek (10:10 = 1) a zbytek zapíšeme zlomkem.

42 3

Stejně tak například 

313

13

39

neboť tvoří 3 celky (39:13 = 3)

13

a zbytek je znovu zapsaný zlomkem.

Mocninu zlomku vypočítáme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele zvlášť a stejné je to i s odmocninou, protože odmocnina podílu je podíl odmocnin a zlomek nic jiného než podíl není. Např.

3 8   