Rovnice jsou základ

Bez nich se žádná písemka neobejde

Upřijímaček čekejte rovnici s jednou neznámou. Naším úkolem je zjistit, jaké číslo se za neznámou schovává, aby výrazy na obou stranách rovnice měly stejnou hodnotu. Například: x +2=4 x –13

Neznámou v tomto případě je x. Může se za ní schovávat libovolné reálné číslo. Pokud například x = 2, tak hodnota výrazu vlevo je 2 + 2 = 4, ale hodnota výrazu vpravo je 4 · 2 – 13 = – 5 . Vidíme tak, že pro hodnotu neznámé x = 2 mají obě strany rovnice jinou hodnotu. Ale pokud je neznámá x = 5, tak hodnota výrazu vlevo je 5 + 2 = 7 a hodnota výrazu vpravo je 4 · 5 – 13 = 7. Obě strany rovnice tak mají stejnou hodnotu a to znamená, že číslo 5 je řešením naší rovnice.

Některé rovnice mají více řešení, pak platí, že jich mají nekonečně mnoho, tj. každé reálné číslo je řešením takové rovnice, takovou rovnicí je např. rovnice

Můžete zkoušet dosazovat různá čísla a vždy bude mít její pravá i levá strana stejnou hodnotu.

Existují i rovnice, které žádné řešení nemají. Do takové rovnice pak můžete dosazovat libovolná reálná čísla, ale nikdy se vám nepodaří, aby pravá i levá strana měly stejnou hodnotu. Takovou rovnicí je např. rovnice

5x –3·( x +1)=2·( x –4)+2.

Jak tedy rovnice řešit? Cílem je, aby všechny neznámé byly jen na jedné straně rovnice a aby všechna čísla byla na druhé.

Krok 1. Nejprve se zbavíme zlomků (vynásobíme rovnici společným jmenovatelem všech zlomků v rovnici) a pak se zbavíme závorek (vše roznásobíme).

Krok 2. Tzv. „úklid“v rovnici, tj. na levé i pravé straně rovnice posčítáme vše, co se posčítat dá: písmenka s písmenky a čísla s čísly (nebo odečteme, samozřejmě).

Krok 3. Všechna písmenka převedeme na jednu stranu rovnice a čísla na tu druhou (přičtením nebo odečtením libovolného výrazu a čísla k celé rovnici).

Krok 4. Dořešíme rovnici tím, že zajistíme, aby na straně rovnice, kde je písmenko, to písmenko (neznámá) bylo jen jedno. (Zajistíme vydělením celé rovnice číslem.) Řešte rovnici:

xx 2



3 2

Krok 1. Zbavíme se zlomků a pak závorek. Toho dosáhneme tak, že rovnici vynásobíme společným násobkem (ideálně nejmenším společným) všech jmenovatelů. Ve jmenovatelích je číslo 2 a 3, takže násobíme číslem 6. Díky tomu dostaneme toto: 2x –3( x +2)=6 x –24

Nyní se zbavíme závorky tím, že ji roznásobíme a dostaneme tak 2x –3 x –6=6 x –24

Krok 2. „Úklid“. Posčítáme, co se dá, a máme jednodušší zápis

– x –6=6 x –24

Krok 3. Převedeme neznámé na jednu stranu (vybrali jsme vpravo) a čísla na druhou (vlevo). Musíme tedy k celé rovnici přičíst x

a také přičíst číslo 24. Tím dostaneme24–6=6 x + x. Když členy posčítáme, dostaneme 18 = 7 x.

Krok 4. Dořešíme. Vydělíme celou rovnici číslem sedm. Tak dostaneme

18 hledané řešení x =

7

Ještě zbývá udělat zkoušku, abychom se ujistili, že jsme počítali dobře. Dosadíme proto výsledné číslo za neznámou x do obou stran rovnice v zadání a doufáme, že nám vyjde stejné číslo.

Vidíte, že obě strany rovnice mají stejnou hodnotu (píšeme L = P).

Řešením rovnice může být také nula. Tuto situaci často studenti zaměňují s tím, že rovnice nemá řešení, ale není to pravda. I číslo nula může být řešením.

Řešte rovnici:

4·(4 x –5)=5·(0,2 x –0,5)·8 Rovnice vypadá celkem snadno, stačí roznásobit závorky, převést neznámé na jednu stranu a čísla na druhou a máme vypočítáno. 16x –20=8 x –20

8x =0/:8

x =0

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo nula. Nepleťte si ale tento výsledek s následujícími případy: Řešte rovnici:

4·(4 x –5)=5·(0,2 x – 0,5) · 16 16x –20=16 x –40

0x =–20

0=–20

V této rovnici se stalo, že neznámá zmizela a rovnice tvrdí, že čísla 0 a – 20 jsou stejná. To ale evidentně není pravda. Zápis znamená, že rovnice nemá řešení. Zkrátka

žádné číslo není řešením této rovnice. Řešte rovnici:

4·(4 x – 5) = 5 · (0,2 x – 0,25) · 16 16x –20=16 x –20

0x =0

0=0

Opět, jako v minulé rovnici, nám zcela zmizela neznámá, ale tentokrát nevyšel nesmysl, naopak, dostali jsme rovnost 0 = 0 a ta pravdivá je. Za x můžeme zvolit libovolné číslo a vždy vyjde 0 = 0. To znamená, že rovnice má nekonečně mnoho řešení.

Tím jsme si ukázali všechny možnosti výsledku rovnic, se kterými se můžeme setkat, a také nejčastější chyby. Podíváme se spolu ještě na jednu slovní úlohu:

Děti sázely tři dny stromky. Druhý den zasadily o pětinu více než první den. Třetí o 20 méně než první den. Dohromady 364 stromků.

a) Počet stromků, které zasadili 1. den, označte x a sestavte rovnici pro výpočet.

b) Kolik stromků zasadili třetí den?

Uděláme si zápis, tam totiž vznikají nejčastější chyby (hlavně ve zlomcích a výrazech). Sestavit a vyřešit rovnici pak bude hračka.

První den zasadili x stromků. Druhý den o pětinu více. Jak to zapsat? Častým a bohužel chybným pokusem je

Co jsme to napsali? x je počet

stromků, proto je množství větší jen o pětinu stromku! Ale nikoli o pětinu toho, co zasadili první den. Pokud by první den zasadili 10 stromků, pak druhý den by to muselo být 12 stromků. (o pětinu více než první den). Pokud by první den zasadili např. 200 stromků, pak by museli druhý den zasadit 240 stromků (opět o pětinu více). Ato opravdu není

Ale správně je což není nic

jiného než

Správný zápis a postup tedy musí vypadat takto: první den ... druhý den ... třetí den ... -20

Rovnice

První den … 120 stromků Druhý den … 144 stromků Třetí den … 100 stromků Dohromady … 364 stromků b) 3. den zasadili