Jednotky a procenta

Když řešíme slovní úlohy „ze života“a nepůjde-li jen o kusy nějakých produktů, pak se bez jednotek neobejdeme. Vždy hledáme a počítáme nějakou délku, dobu, rychlost, hmotnost, plochu, objem apod.

Základní jednotkou délky je metr (m), času sekunda (s) a hmotnosti kilogram (kg). Ostatní jednotky z nich vycházejí. Proto základní jednotkou rychlosti je

metr za sekundu (m/s), obsahu

metr čtvereční (m2) a objemu

metr krychlový (m3).

Větší a menší jednotky tvoříme pomocí univerzálních předpon:

Mili – je tisícina, takže potřebujete 1 000 mm (milimetrů), abyste měli 1 m (metr). Stejně 1 000 mg (miligramů) = 1 g (gram).

Centi – je setina, takže 100 cm (centimetrů) = 1 m anebo 100 cl (centilitrů) = 1 l (litr).

Deci – je desetina, a tak 10 dm (decimetrů) = 1 m.

Naopak předpona kilo je tisícinásobek, a proto 1 km (kilometr) = 1 000 m (metrů) anebo 1 kg (kilogram) = 1 000 g (gramů).

Hekto – je stonásobek, a tak 1 hl (hektolitr) = 100 l.

Pozor na jednotky, které vznikly násobením dalších jednotek:

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2, nebo

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3.

Mezi odvozené jednotky ještě patří plošné jednotky, jako je hektar (1 ha = 10 000 m2: plocha čtverce se stranou dlouhou 100 m) a ar (1a = 100 m2: plocha čtverce se stranou dlouhou 10 m).

Při výpočtech s různými jednotkami musíme nejprve převést všechny prvky na stejnou jednotku a teprve potom provést zadanou početní operaci:

Vypočtěte, kolik cm3 je čtvrt litru. Je nutné vědět, že 1 l = 1 dm3. Čtvrt litru zapíšeme jako 0,25 l. Litry převedeme na jednotky krychlové: 0,25 l = 0,25 dm3. Nyní již stačí převést dm3 na cm3. A tak 0,25 dm3 = 250 cm3.

Sud, který je plný vody, váží 75 kg. Když z něj odlijeme třetinu vody, bude vážit 55 kg. Vypočtěte, kolik váží prázdný sud.

Nejsnazší je si situaci nakreslit. Snadno pak zjistíte, že obě výchozí situace stačí od sebe odečíst.

Zjistíme, že hmotnost odlité vody je 20 kg a ta tvoří třetinu veškeré vody v sudu. Všechna voda v sudu tak váží 60 kg (= 3 · 20 kg) a prázdný sud tak váží 15 kg

(= 75 kg – 60 kg).

Ve slovních úlohách také často používáme přímou a nepřímou úměrnost. Však už v minulé úloze jsme ideu přímé úměrnosti použili. Třikrát větší množství vody váží třikrát více kilogramů.

Nepřímá úměrnost je například závislost doby uklízení na počtu uklízejících. Čtyřikrát více lidem to bude trvat čtyřikrát kratší čas. Ale i tak se snadno udělá chyba: Šest zedníků postaví zeď za 7 hodin. Po 4 hodinách přijdou další 3 stejně šikovní zedníci. Za jak dlouho byla celá zeď postavena, když zedníci dále pokračují stejným tempem?

Tady jde o úlohu na nepřímou úměrnost, je ale důležité zvolit správný časový okamžik, se kterým budeme počítat.

A správně není uvažovat dobu celé stavby. Na jejím začátku se počet zedníků neměnil. Všichni vesele stavěli celé 4 hodiny. Až v tuto chvíli se počet zedníků mění. Původní počet zedníků (6) by zeď dostavěl za 3 hodiny. Ale teď jich tam nebude šest, bude jich tam více (9), a tak jim to bude trvat kratší dobu (y hodin). 6 zedníků … 3 h

9 zedníků … h

y 6 6 proto atak y 3   2h .



39 9

Zedníci dokončí stavbu za 2 hodiny a celá zeď tak byla postavena za6h.

Nyní se podíváme na procenta: Šaty stály 4 500 Kč a následně

byly zdraženy o 19 %. Kolik stály po zdražení?

V této úloze si ukážeme tři základní postupy, pomocí kterých se úlohy na procenta řeší. Protože procento je 1 setina celku, tak celek je tvořen 100 procenty.

I) pomocí trojčlenky:

100 % (pův. cena) … 4 500 Kč 119 % (nová cena) … Kč

Nyní už výsledek snadno dopočítáme, musí platit

Cena po zdražení je tak

II) pomocí 1 procenta:

100 % (pův. cena) … 4 500 Kč 1%…45Kč(=4500Kč:100) 19 % (zdražení) …

... 855 Kč (= 45 Kč · 19)

Šaty tak byly zdraženy o 855 Kč a po zdražení stály

III) pomocí desetinných čísel nebo zlomku:

1 procento je jedna setina celku,

proto 19 % je

100

nebo desetinným číslem 0,19. Výsledná cena je tak 1,19 ceny původní. Stačí proto vynásobit 1,19 · 4 500 = 5 355. Šaty po zdražení stály

Zvlášť poslední způsob si dobře zapamatujte, protože je nejrychlejší a dají se s ním zapisovat i výrazy.

5 355 Kč. Miroslav donutil 26 kamarádů pomáhat s česáním jablek, což je o 30 % více než den předtím. Kolik kamarádů pomáhalo předchozí den?

Pozor! 26 dětí nyní není 100 %, ale 26 dětí je o 30 % více dětí předchozí den. Proto 26 dětí je 130 % z předchozího počtu. K výpočtu použijeme třetí, nejrychlejší způsob z minulé úlohy:

Počet dětí vydělíme číslem 1,30 a máme výsledek: 26 : 1,3 = 20. Předchozí den pomáhalo 20 dětí.

Klíčové v úlohách s procenty je určit správně základ, tedy co je celek, který tvoří 100 %. Pokud určíte základ špatně, pak už se úloha nedá zachránit.

Jak ale najít správný základ? Naštěstí v češtině to lze vždy bezpečně poznat pomocí předložky než nebo z. Ta část, před kterou předložka než stojí, je základem. Všimněte si v minulé úloze:

…26 dětí je o 30 % více než den předtím. Takže předchozí den je základ a tvoří 100 %.