15. Početní geometrie

Obvod a obsah rovinných útvarů

Geometrie není jen rýsování. Různé obrazce v rovině bychom mohli chtít i měřit: říci, který je větší a který je menší. Velikost obrazce můžeme chápat dvěma způsoby. Jde o obvod a obsah. Jednoduše řečeno, obvod by byla délka plotu kolem obrazce. Obsah je velikost plochy, kterou obrazec zabírá.

Obvod (značíme o) popisuje součet délek všech stran, které ohraničují nějaký útvar v rovině, a jeho hodnota je uvedena v jednotkách délky tj. km, m, cm, mm apod. Upozornění: Pokud počítáme obvod celého obrazce, chceme znát součet délek všech stran, které obrazec ohraničují. Strany, které jsou v obrazci také naznačeny, ale neohraničují ho, do obvodu nepočítáme. Příklad:

Čtverec má obvod 20 cm. Ze čtyř těchto čtverců byl složen obdélník tak, že jsme čtyři čtverce spojili vedle sebe. Určete obvod obrazce.

U geometrických úloh platí víc než kdy jindy, že byste si měli situaci nakreslit. Ti, kteří si situaci neumí vybavit, mohou podlehnout představě, že obrazec, který je složený ze čtyřikrát více čtverců, bude mít čtyřikrát větší obvod, ale není to pravda.

Protože známe obvod jednoho čtverce a hranice čtverce je tvořena ze 4 stejně dlouhých úseček, tak délka jedné strany je

5 cm (= 20 cm : 4). Hranice obdélníku je tvořena z deseti (viz obrázek) takovýchto úseček, jeho obvod je tak 50 cm ( = 5 cm · 10).

Obsah (značíme S) vyjadřuje velikost plochy, která je stranami útvaru ohraničena, a popisujeme jej jednotkami obsahu km2, m2, cm2 apod. 1 cm2 je čtverec, který má stranu dlouhou 1 cm. Pokud hledáme obsah např. obdélníku o stranách 4 cm a 5 cm, pak zjišťujeme, kolik čtverečků o straně 1 cm se do obdélníku vejde.

Na delší stranu obdélníku se jich vedle sebe do jedné řady vejde 5, a protože druhá strana obdélníku má 4 cm, pak tyto řady jsou v obdélníku celkem čtyři. Obsah obdélníku tak je 20 cm2.

Proto obsah obdélníku o stranách a cma b cm je S = a · b cm2. Obsah čtverce o straně a cm tak je S = a · a cm2.

Často musíme řešit opačnou úlohu. Známe obsah čtverce a musíme dopočítat délku strany:

Mějme čtverec o obsahu 36 cm2, vypočtěte délku jeho strany.

Častou začátečnickou chybou je bláhová představa, že stranu z obsahu vypočítáme tak, že obsah vydělíme čtyřkou. K tomu ale není žádný důvod. Však při výpočtu obsahu čtyřkou nenásobíte.

A jak je to tedy správně? Délka strany v cm je daná takovým číslem, které splňuje, že když jej vynásobíme sebou samým, pak výsledek je 36. Hledaná délka strany je tak 6 cm, protože 6cm·6cm=36cm2.

Pomocí lze snáz odhalit, jakou velikost mají útvary v ní zakreslené. Jednodušší orientaci nám zaručují právě čtverečky, z nichž se síť skládá, přičemž všechny jsou stejně velké. Jak tedy s čtvercovou sítí pracovat? Opět si ukážeme na příkladu: Vypočítejte obsah zelené plochy ve čtvercové síti. Délka strany jednoho čtverečku je 5 cm.

čtvercové sítě

Obrazec můžeme rozdělit na dvě části. Vpravo je obdélník složený

ze čtyř čtverečků. Vlevo od něj je trojúhelník. Jak vypočítat obsah trojúhelníku? Trojúhelník je vždy polovinou nějakého obdélníku. Zelený trojúhelník je polovinou obdélníku, který se skládá celkem z 20 čtverečků (4 řady čtverečků, v každé řadě je 5 čtverečků). Zelený trojúhelník se tak skládá přesně z 10 čtverečků (polovina z 20 čtverečků). Celý obrazec se tak skládá ze 14 čtverečků (10 v trojúhelníku a 4 vpravo od něj). Obsah jednoho čtverečku je 25 cm2 (= 5 cm · 5 cm).

Obsah zeleného obrazce tak je 350 cm2 (= 14 · 25 cm2).

Ještě musíme připomenout důležitou skutečnost. Nezapomeňte, že libovolná 3 čísla nemusí vždy tvořit délky stran trojúhelníku. Například trojúhelník o délkách stran 5 cm, 6 cm a 13 cm neexistuje. Délky stran musí splňovat trojúhelníkovou nerovnost, proto součet každých dvou stran musí být vždy větší, než je délka zbývající strany.

Posledním typem úlohy, který si vysvětlíme, jsou úlohy na osovou souměrnost. Osovou souměrnost jsme také již zmínili v kapitole o rýsování a říkali jsme si, jaké vlastnosti mají zobrazené útvary. V dnešních příkladech se setkáváme s úlohou opačnou, tj. máme rozhodnout, zda daný útvar je osově souměrný. Ptáme se tak, zda existuje taková přímka (nazýváme ji osa), podle které se útvar zobrazí sám na sebe. Kdybychom tedy například takový útvar vytištěný na papíře přeložili podle osy, obě části se plně překryjí.