17. Trojrozměrná tělesa
Základním tělesem je krychle
Dnes se opět věnujeme geometrickým úlohám, vystoupíme však z roviny (papíru) do trojrozměrného prostoru a budeme se věnovat objektům, které budeme nazývat tělesy. Základním tělesem je krychle. Jde o obyčejnou kostku, kterou znáte z deskových her nebo stavebnic.
Je to těleso, které má stejné všechny tři rozměry, tedy délku, šířku a výšku.
Povrch je složen celkem ze 6 čtverců. Tyto plochy se nazývají stěny a tvoří hranici krychle. Dále má krychle celkem 12 hran a k tomu ještě 8 vrcholů.
Pokud libovolné těleso „rozstříháme“podél hran a „rozložíme“na stůl, dostaneme jeho síť. A opačně, pokud byste si síť nakreslili na papír, podél hran ohnuli a slepili, dostanete těleso.
Nejčastěji se síť krychle znázorňuje následujícím obrázkem. Nicméně možností, jak znázornit síť krychle je mnohem více, a ukážeme si ještě 2 varianty (což ani zdaleka nejsou všechny možnosti).
Krychle můžeme skládat k sobě a stavět z nich například větší krychle. Zajímat nás teď bude, z kolika malých krychlí se skládají. Abychom z krychliček postavili větší krychli, potřebujeme alespoň 8 krychliček. Taková krychle tak bude mít 2 patra a v každém patře
4 krychličky
(2 na délku a 2 na šířku).
Kolik krychliček je zapotřebí ke stavbě krychle, která bude mít 3 patra?
Každé patro musí být „čtvercové“a na délku i šířku v něm musí být tolik krychliček, kolik je pater, tedy 3 na šířku a 3 na délku.
V jednom patru je proto
9 krychliček a celou krychli tak tvoří
27 krychliček. Takovou krychli vidíte na obrázku.
Takto bychom mohli pokračovat dlouho a nemuseli bychom nikdy skončit. Napíšeme si tak alespoň prvních pár čísel, která udávají počet krychliček nutný k sestavení krychle: 1, 8, 27, 64, 125, 216.
Lojzík si hraje s malými krychličkami. Když z nich postaví největší možnou krychli, kterou dovede, zbyde mu 20 malých krychliček. Aby postavil větší krychli, chybí mu ještě 17 malých krychliček. Určete, kolik malých krychliček Lojzík má.
Víme, že Lojzík nemá 1, 8, 27, 64, 125, 216, … krychliček, protože by jinak mohl postavit krychli a nic by mu nezbylo. Jemu ale zbyde 20 a do další větší krychle mu 17 chybí, proto se počet krychliček v obou popsaných krychlích musí lišit právě o 37 krychliček (= 20 + 17). A to jsou jen čísla 27 a 64. Pokud postaví krychli z 27 krychliček, 20 mu zbyde, takže má celkem 47 krychliček. (A do 64 mu 17 chybí.) Lojzík má 47 krychliček.
Z krychliček můžeme samozřejmě stavět i jiné stavby než jen větší krychle. V takových úlohách se buď ptáme na počet krychlí, z kterých je stavba vytvořena, nebo na tvarové vlastnosti. Pokud se ptáme na počet, nezapomínejte započítat i ty krychle, které nevidíte. Krychličky nemohou levitovat volně ve vzduchu, vždy stojí na jiné krychli, nebo jsou k jiné krychli viditelně připojené. To je většinou v zadání zdůrazněno například poznámkou, že při stavbě nebylo použito žádné lepidlo.
Při zjišťování počtu krychliček vždy doporučujeme použít nějaký systém, abyste na žádnou krychličku nezapomněli, ale ani abyste žádnou nezapočítali vícekrát. Dobrý nápad je třeba počítat krychličky v jednotlivých patrech a pak počty krychliček v jednotlivých patrech sečíst.
Stavby můžeme také nořit do barvy, nabarví se pak jen ty stěny, které se přímo nedotýkají jiné krychličky. Na to nezapomínejte při otázkách, kolik stěn se nabarví a kolik zůstane nenabarvených.
Na stavby se můžeme také dívat z různých pohledů – zepředu, z některé strany nebo seshora. A otázkou pak může být, jaký tvar uvidíme.
Všechny tyto úlohy mají za cíl rozvíjet vaši prostorovou představivost. Postup se zde příliš vysvětlovat nedá, musíte úlohy sami trénovat. Když si nebudete vědět rady, stavbu si postavte, vystřihněte nebo slepte, ať ji lépe vidíte.