Trojrozměrné objekty

Povrch a objem. Výpočty, které vlastně nejsou vůbec těžké

Vpřijímačkách se tělesa (3D objekty) objevují pravidelně. Studenti s těmito úlohami mají velké problémy, ačkoliv matematicky tyto úlohy nejsou vůbec těžké. Největší potíž je v tom, že studenti si tělesa nedokážou představit, a také proto, že záleží na každém slovíčku.

Kolmý hranol je těleso, které je kolmé na svou podstavu (podstavou může být libovolný mnohoúhelník). Pokud je podstavou kruh, pak tomuto tělesu říkáme válec. Počet hran v podstavě nám říká, kolik má hranol boků. Takže pokud je podstavou trojúhelník, mluvíme o trojbokém hranolu, pokud je podstavou obdélník (kosočtverec, lichoběžník, …) mluvíme o čtyřbokém hranolu atd. Vzdálenost obou podstav („dno“a „víčko“) se nazývá výška hranolu a značíme ji v. Dobře si prohlédněte obrázky (trojboký hranol, čtyřboký hranol, pětiboký hranol):

Pokud navíc u popisu hranolu figuruje slovíčko „pravidelný“, pak to v případě trojbokého hranolu znamená, že podstavou není jen tak nějaký trojúhelník, ale rovnostranný trojúhelník. Pravidelný čtyřboký hranol nemá podstavu libovolného čtyřúhelníku, ale podstavou je čtverec. Opět se dobře podívejte na obrázky (pravidelný trojboký hranol, pravidelný čtyřboký hranol, pravidelný pětiboký hranol, pravidelný šestiboký hranol):

Pokud těleso s podstavou tvaru mnohoúhelníku nemá dvě shodné podstavy, ale je špičaté, pak už jej nenazýváme hranolem, ale jehlanem. Výška je v tomto případě vzdálenost vrcholu (špičky) od podstavy. Z obrázků to bude opět zřejmé (trojboký jehlan, čtyřboký jehlan, pětiboký jehlan):

V poslední sadě obrázků (vpravo nahoře) jen přidáme slůvko pravidelný (pravidelný trojboký jehlan, pravidelný čtyřboký jehlan, pravidelný pětiboký jehlan, pravidelný šestiboký jehlan):

A stejně jako dvojrozměrný obrazec můžeme charakterizovat obvodem a obsahem, můžeme tělesa popsat a měřit čísly. Zde je to

Matematické tabulky jsou plné vzorců na výpočet povrchů a studenti tak mají pocit, že je toho moc, ale je to mnohem snazší. Musíte si ale těleso „rozbalit“. Povrch je pak součet obsahů jednotlivých částí, což jsou různé trojúhelníky, obdélníky a další mnohoúhelníky a to už snadno zvládneme. Tak například povrch krychle je složen ze šesti čtverců, její povrch tak vypočteme jako S =6· a 2, kdy číslo šest vyjadřuje právě počet čtverců a a obsah

2 jednoho čtverce.

U hranolu s podstavou čtverce bychom jeho povrch vypočítali jako

S =2· a 2+4· av, neboli dvakrát obsah čtvercové podstavy (dno + víčko) a čtyřikrát boční obdélníková stěna. Snadné je to i s a

Objem všech těles kolmých k podstavě vypočteme jako součin obsahu podstavy a výšky

V = Spodstavy · v, kde v značí výšku tělesa. Vzorec platí tedy pro všechny hranoly i válce.

Podívejme se ještě na obrázek válce. Podstavu tvoří kruh, jehož obsah znáte.

Objem válce tak vypočteme jako obsah podstavy násobený výškou

ଶ ·

čili .

V=

Pokud je těleso špičaté, pak jeho objem tvoří přesně třetinu objemu tělesa, které by bylo kolmé.

 v

Vzorec je tedy: V a platí tak pro

1

S

podstavy

všechny jehlany i kužely.

3

Tělesa lze na sebe i skládat a stavět z nich větší tělesa, např. různé stavby z krychlí. Jejich povrch spočítáte tak, že sečtete povrch všech stěn, ze kterých se stavba skládá a objem je součet objemů jednotlivých krychliček.