23. Obtížné slovní úlohy

Různé metody a postupy, jak je vyřešit

Jistě snadno dokážete vypočítat libovolný násobek nějaké částky, hmotnosti nebo délky. Stejně tak dokážete zadanou hodnotu rozdělit na menší části a počítat například se čtvrtinami či desetinami. Ale podívejme se na následující úlohu:

Eliška má naspořeno o 40 Kč více než Kája, Kája má naspořeno o 60 Kč více než Petr a Petr má naspořeno o 70 Kč více než Míša. Dohromady mají děti 2 110 Kč.

a) Kolik má naspořeno Míša?

b) O kolik mají Eliška s Kájou naspořeno více než Petr s Míšou?

Potíž této úlohy je, že neznáme naspořenou částku ani jednoho dítěte, proto se nám nepodaří přičítat 40 Kč, nebo 60 Kč apod. dle zadání. Proto si neznámou částku označíme nějakým symbolem, obrázkem, písmenkem nebo si řekneme, že je to 1 díl. Představme si, že Míša naspořila pytel peněz . Ostatní pak jednoduše dopočítáme a zapíšeme.

Míša …

Petr … + 70 Kč

Kája … + 130 Kč (o 60 Kč více než Petr) Eliška … + 170 Kč (o 40 Kč víc než Kája)

A pytle peněz už můžeme snadno sčítat, takže dohromady uspořili 4 pytle peněz a k tomu 370 Kč. Protože celkovou částku máme zadanou, můžeme vše zapsat takto: 4 · + 370 Kč = 2 110 Kč. Takové obrázkové úlohy už ale umíme řešit, snadno tak přijdeme na to, že = 435 Kč, takže už víme, že Míša má 435 Kč, Petr 505 Kč, Kája 565 Kč a Eliška 605 Kč. Eliška s Kájou mají dohromady 1 170 Kč a Míša s Petrem 940 Kč. Eliška s Kájou tudíž mají o 240 Kč víc než Petr s Míšou. a) Míša má naspořeno 435 Kč. b) Eliška a Kája mají o 230 Kč víc než Petr s Míšou.

Žebřík má 14 příček. Tloušťka každé příčky je 4 cm. Mezery mezi příčkami jsou stejně široké a každá má 25 cm. Mezera od začátku žebříku k první příčce je 30 cm široká a mezera od poslední příčky k vrcholu žebříku má 33 cm. Vypočtěte délku celého žebříku.

Musíme si uvědomit, že mezi první a čtrnáctou příčkou je jen třináct mezer! Na závěr nesmíme zapomenout připočítat kousky před 1. příčkou a za 14. příčkou. Délka žebříku tak je 14·4cm+13·25cm+30cm+33cm= 444 cm.

Tatínek rozřeže celý trám na 3 kusy za 6 minut. Za jak dlouho rozřeže trám na 6 kusů?

Pokud si myslíte, že rozřezání 6 kusů bude trvat 2krát déle než 3 kusy, tak je to mýlka. Tady nelze uplatnit jen tak přímou úměrnost, musíte se nad úlohou zamyslet podrobněji. Aby tatínek rozřezal celý trám na 3 kusy, musí řezat jen 2krát! Tyto 2 řezy mu zaberou 6 minut, proto 1 řez trvá 3 minuty (až tady je použití přímé úměrnosti správné). Takže když chce tatínek rozřezat trám na 6 kusů, musí říznout 5krát. A bude mu to tak trvat 15 minut (=5·3cm).

Dostali jste obrovskou bonboniéru, kterou tvoří dřevěná krabička plná bonbonů. Celá bonboniéra váží 800 g. Když sníte čtvrtinu bonbonů, bude hmotnost bonboniéry 700 g. Určete:

a) hmotnost bonboniéry, sníme-li polovinu bonbonů,

b) hmotnost dřevěné krabičky.

Jde o další úlohu, kde nelze použít přímou úměrnost hned. Začátečníci si často řeknou, že když celá bonboniéra váží 800 g, tak bonboniéra s polovinou bonbonů bude vážit polovinu, tj. 400 g, ale to není pravda. Polovina bonbonů totiž není polovina hmotnosti bonboniéry. To byste s polovinou bonbonů museli sníst i polovinu krabičky! Ale dřevěná krabička stále zůstává celá a neubývá. Nejlepší tak je si situaci nakreslit. Pokud od plné bonboniéry odečteme bonboniéru, kde chyběla čtvrtina bonbonů, získáme tak hmotnost čtvrtiny bonbonů.

Čtvrtina všech bonbonů má tedy hmotnost 100 g, hmotnost všech bonbonů je tak 400 g (= 4 · 100 g). A tak hmotnost poloviny bonbonů je 200 g. Hmotnost bonboniéry, ve které chybí polovina bonbonů, je proto 600 g (= 800 g – 200 g). Prázdná dřevěná krabička tak má hmotnost 400 g (= 800 g – 400 g).

Vendelín dostal stavebnici, ve které bylo několik motorek a autíček. Každý dopravní prostředek měl svou figurku řidiče. Na začátku měly všechny dopravní prostředky odmontovaná kolečka. Figurek řidičů bylo 18 a všech koleček 50. Kolik bylo ve stavebnici motorek a kolik autíček?

Typická úloha, známá v četných podobách. Můžete mít na dvorku slepice a králíky a budete znát počet jejich hlav a nohou. Nebo dva druhy vícehlavých draků, anebo budete mít halenky a košile a budete znát celkový počet knoflíků a počet kusů oblečení. Dopočítat musíte, kolik kusů je tam od každého druhu.

Nejjednodušší způsob v 5. ročníku je metoda pokus omyl. Takže zkoušíme dvojice čísel (jejichž součet je 18), které udávají počet motorek a aut a dopočítáme, kolik by měly koleček dohromady, když víme, že každá motorka má 2 kolečka a každé autíčko 4 kolečka. Nejpřehlednější bude si vše zapisovat do tabulky. Po pár pokusech zjistíme, že ve stavebnici měl 7 autíček a 11 motorek.

Metoda pokus-omyl ale není nejrychlejší a nevede k cíli přímo (na první pokus). K tomu bychom museli použít následující postup úvahou:

Máme 18 dopravních prostředků. Jaký je jejich nejmenší možný počet koleček? Pokud všechny dopravní prostředky budou motorky, pak počet koleček bude 36 (= 2 · 18), musíme ale přidat ještě 14 koleček (do padesáti), takže ve stavebnici musí být i nějaké autíčko. Už ale máme 18 dopravních prostředků, proto když chceme přidat autíčko, musíme také jednu motorku odstranit. Tím, že přidáme 1 autíčko, sice přibydou 4 kolečka, jiná 2 kolečka ale ubydou kvůli odebrané motorce. Proto výměnou autíčka za motorku se počet koleček zvýší o 2. A nyní už je to přímá úměrnost. Přidáním 1 autíčka přibudou 2 kolečka. Přidáním 2 autíček přibudou 4 kolečka. Takže aby přibylo 14 koleček, musíme přidat 7 autíček. A 11 zbylých dopravních prostředků tak budou motorky. Ve stavebnici měl 7 autíček a 11 motorek.