27. Úlohy na zamyšlenou

Tato kapitola se opět týká žáků 5. i 9. tříd, protože logické uvažování je pro všechny stejné

Tuto kapitolu věnujeme úlohám, které se zpravidla objevují na konci testu. Jde o nevyzpytatelné úlohy s logickým uvažováním, kde k řešení budete muset využít všechny předchozí znalosti, které jsme si spolu vysvětlovali.

Pro prvky logické řady je charakteristické, že je spojuje nějaký klíč, a jejich pořadí tedy není náhodné. Podívejme se rovnou na příklad:

Na tabuli se opakuje stále dokola tento nápis: SKOLASKOLASKOLASKOLASKOLASKOLA... Určete, jaké písmeno je na 2024. místě.

V nekonečné řadě se stále opakuje pět písmen. To je pro příklad podstatné. Vždy si spočítejte, kolik písmen (znaků, symbolů, obrázků) se opakuje. Všimneme si, že písmeno A leží vždy na pozici, která je očíslovaná násobkem čísla pět. Písmeno A je tedy v pořadí páté, desáté, patnácté, dvacáté atd. Díky této úvaze umíme rychle rozhodnout, jaké písmeno se v řadě nachází například na 2024. pozici. Číslo 2020 i 2025 je přímo dělitelné pětkou, a proto na pozici 2024 musí být

písmeno L.

Při řešení matematických úloh často hledáme postupy, které nám usnadňují zdlouhavou práci. V minulé úloze jsme mohli vypisovat pořád dokola slovo

SKOLA a pak počítat až na 2024. pozici a jen se podívat, jaké je tam písmenko. Ale jistě chápete, že je to příliš zdlouhavý postup. Oproti tomu vydělit číslo 2024 pětkou a pomocí zbytku zvolit správnou možnost, je mnohem rychlejší cesta. V některých úlohách ale snadný urychlující postup není a musíme si řešení skutečně odpracovat. Na příkladu si ukážeme, jak může takové zadání vypadat:

Miluška si četla knihu o dějinách matematiky. Pokaždé, když byla na stránce, jejíž číslo obsahovalo číslici 5, udělala si za každou takovou číslici jednu čárku. Dočetla přesně na té stránce, když udělala 24. čárku. Na jaké stránce skončila?

Nemáme jinou možnost, než si zkrátka vypsat všechna čísla (stránky), které obsahují číslici 5: 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95, 105, 115, 125, 135

Určitě na žádné z nich nezapomenete a u čísla 55 je třeba udělat dvě čárky, protože se v něm číslice 5 objevuje hned dvakrát.

Miluška skončila

na stránce 135.

V testech se často setkáváme s logickými řadami. V těchto úlohách jsou zkušenosti k nezaplacení. Čím více příkladů spočítáte, tím více vám budou čísla povědomá a uvidíte mezi nimi různé vztahy. Např. pokud vidíte číslo 144, mělo by vás okamžitě napadnout, že 144 = 12 · 12. Pak vás snadněji napadne, podle jakého pravidla vznikají další čísla v řadě.

Doplňte chybějící číslo v řadě:

9, 11, 15, 21, 29, …

Snadno si všimnete, že ke každému dalšímu číslu přičítáme neustále další a další sudé číslo. Symbolicky zapsáno: + 2, + 4, + 6, + 8, atd. Chybějící číslo takje29+10= 39.

Doplňte chybějící číslo v řadě:

4, 12, 17, 51, 56, 168, …

V této řadě se střídá operace násobení (třemi) a přičítání (pětky). Symbolicky: · 3, + 5, · 3, + 5, atd. Chybějící číslo je tak 168 + 5 = 173.

Číselných řad je ale možné vymyslet hromadu. Doplňte chybějící číslo v řadě:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Tato řada vzniká tak, že sečteme dva předchozí členy a tím dostaneme číslo následující.

0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, atd. Chybějící číslo tak je8+13= 21. Tato posloupnost je tak známá, že má i své jméno. Jedná se o Fibonacciho posloupnost.

Z malých čtverců o délce strany 3 cm jsou vytvořeny kříže, které tvoří logickou řadu. Na obrázku vidíte tři nejmenší možné kříže. a) Určete obsah 10. kříže v cm2. b) Určete obvod kříže v cm, který je složen ze 45 čtverců.

Dobrá rada na začátek je očíslovat si obrazce. A pak hledat závislosti mezi pořadím křížů a nějakou jeho charakteristickou vlastností. V našem příkladu tou charakteristickou vlastností je počet čtverců v každé „větvi“kříže. Kříž číslo 1 má na každé větvi jeden čtverec. Kříž číslo 2 má na každé větvi 2 čtverce. Kříž číslo 3 má na každé větvi 3 čtverce. Vidíte tak souvislost pořadí kříže s jeho tvarem.

Desátý kříž tak má na každé větvi 10 čtverců a nesmíme zapomenout na ten prostřední čtverec. Celkem tak 10 · 4 + 1 = 41 čtverečků. Obsah jednoho čtverce je 9 cm2 (= 3 cm · 3 cm), a proto obsah desátého kříže je 41 · 9 cm2 = 369 cm 2.

Kříž, který se skládá ze 45 čtverců, musí mít samozřejmě jeden čtverec uprostřed a zbytek (tedy 44 čtverců) ve „větvích“. V každé větvi je proto 11 čtverců. Obvod jedné větve je 23 · 3 cm = 69 cm a obvod celého kříže je tudíž 4 · 69 cm = 276 cm.

Většina matematických hádanek a hlavolamů je založena na tom, že řada lidí si sama vytváří různé domněnky a omezení. Čtěte proto pozorně zadání a nezakazujte si nějaký postup, pokud to není vysloveně zapovězeno. A druhá dobrá rada je, abyste k úlohám přistupovali pozitivně. Každá úloha, kterou budete řešit, má řešení, tak se ho snažte najít. Abychom na příkladu opět ukázali, co máme na mysli, použijeme úlohu, kterou možná znáte:

V rovině je dáno 9 bodů, propojte je jednou lomenou čarou, která má čtyři úseky.

(Lomenou čarou rozumíme úsečky, které na sebe navazují, takže když je malujete, nesmíte zvednout tužku z papíru.)

Většinou zkoušíte podobné pokusy jako na následujících dvou obrázcích:

Jeden bod ale zůstává nepropojen. Obě špatná řešení vycházejí z falešné domněnky, že čáry nesmí opustit čtverec (který tam nikde ani není zmíněn a člověk si jeho představu vytváří sám). Nic takového ale v zadání napsané nebylo.

Jedno z možných správných řešení pak už určitě snadno najdete a uvádíme ho na dalším obrázku.

Následující úloha snad ani nevypadá matematicky, je to taková sladká tečka:

Tabulka čokolády má 6 řádků a v každém řádku jsou 4 kostičky. Kolikrát musíme čokoládu zlomit, abychom oddělili jednotlivé kostičky? (Zlomené dílky nesmíme pokládat na sebe, abychom jedním zlomením nezlomili více celků najednou.)

Úloha je jednodušší, než by se na první pohled mohlo zdát. Mohli bychom se snažit spočítat, kolik existuje způsobů apod., ale to je zbytečně složité a hlavně nám to nijak nepomůže.

Prvním zlomením dostaneme 2 dílky čokolády. A je jedno, zda odlomíme nejprve první řádek, nebo první sloupec, anebo zda čokoládu rozpůlíme. Druhým zlomením dosáhneme toho, že už budeme mít 3 dílky čokolády. Nemusí být sice stejně velké, ale to přeci vůbec nevadí. Třetím zlomem rozdělíme čokoládu už na 4 dílky atd., atd. Čokoláda má celkem 24 kostiček. Proto je zapotřebí 23 zlomení.

Procvičování 1.

Do čtverce jsou umístěny shodné zelené a červené čtverečky s délkou strany 6 cm. Umístění čtverečků probíhá podle jistého logického klíče, který lze ze tří uvedených obrázků odhalit. 1.1 Kolik čtverečků celkem má sedmý obrazec?

1.2 Kolikátý obrazec má celkem 45 čtverečků?

1.3 Kolik zelených čtverečků má obrazec, který má 24 červených čtverečků?

2. V obrazci složeném ze čtverečků se pravidelně střídají malé, střední a nejvyšší sloupce. Vpravo vidíte ukončení obrazce. 2.1 Kolik nejvyšších sloupců má obrazec, který má celkem 90 čtverečků?

2.2 Kolik malých sloupců má obrazec, který má celkem 135 čtverečků?

2.3 Kolik zelených čtverečků má obrazec, který má 14 nejvyšších sloupců?

3. Viktorka odjela na studijní pobyt a na místo dorazila ve středu (1. den). Zpět domů odjede 151. den. Určete, jaký den v týdnu bude odjíždět zpět domů.

4. Na stolečku stojí lampička, pod stolečkem stojí pejsek. Nejvyšší bod lampičky je 180 cm nad nejvyšším bodem pejska. Pokud se pejsek s lampičkou vymění, bude nejvyšší bod pejska 160 cm nad lampičkou. Jak vysoký je stůl? 5. Na zdi visely ručičkové hodiny, na kterých nebyla žádná čísla.

Tam, kde jsou obyčejně čísla, byly jen delší čárky a mezi nimi v pravidelných rozestupech čtyři kratší čárky, stejně jako to vidíte na obrázku. Hodiny ale dopoledne ze zdi upadly a v tu chvíli se zastavily. Kolik hodin jednotlivé ciferníky ukazují? Nahoře samozřejmě nemusí být dvanáctka. 6. Na obrázku jsou první čtyři obrazce z řady. Každý obrazec je tvořen ze světlých a tmavých čtverečků. Obsah jednoho čtverečku je 25 cm2. 6.1 Kolik čtverečků celkem má osmý obrazec? 6.2 Kolik tmavých čtverečků má desátý obrazec? 6.3 Jaká je výška devátého obrazce?