Řešíme společně
Zadání: Je zadán čtverec s obvodem 256 cm. Do tohoto čtverce vepíšeme další čtverec s vrcholy v polovinách stran původního čtverce. Stejným způsobem pak pokračujeme dál, dokud nám to prostor dovolí. Kolikátý čtverec v pořadí bude mít obsah 1 cm2?
Tak jako obvykle začneme tím, že si znázorníme situaci. Snáz si tak uvědomíme, co známe a co bychom měli zjistit. Získali jsme obrazec složený ze čtverců, které se neustále zmenšují. Naším úkolem bude zjistit, jakým způsobem toto zmenšení probíhá. Pokud změníme velikost libovolného geometrického útvaru, změní se současně délky jeho strany, obvod i obsah. To je asi jasné. Přesto je dobré si to o = 256 Cm připomenout. Je totiž potřeba zaměřit se pouze na jeden z těchto údajů a „neplést jablka a hrušky“. V našem zadání mluvíme o obvodu a v závěru se ptáme na obsah. Z obou těchto vzorců jednoduše určíme délku strany čtverce.
Opět je klíčové uvědomit si, co víme a jak s tím můžeme naložit. Je zadáno, že obvod největšího čtverce je 256 cm. To znamená, že délka jeho strany je 256 : 4 = 64 cm.
Také víme, že obsah čtverce, který nás zajímá, je 1 cm2. C to splňuje pouze čtverec o délce strany 1 cm.
Základ je jasný. Od úsečky dlouhé 64 cm se potřebujeme dostat k úsečce dlouhé 1 cm. C teď už zbývá „jen“určit jakým způsobem. V zásadě máme dvě možnosti řešení.
Postup č. 1
Zaprvé se na úlohu můžeme podívat jako na posloupnost. Známe hodnotu prvního členu. Pomocí Pythagorovy věty pak můžeme spočítat také hodnoty několika dalších členů. Jak je vidět, čtverce se zmenšují ve stále stejném poměru. Jde tedy o posloupnost geometrickou. Naším úkolem je vypočítat, kolikátý člen posloupnosti je roven 1. Jedná se o „pouhé“dosazování do vzorců, u kterého ale máme mnoho příležitostí dopustit se chyby. K určení výsledku navíc musíme vypočítat ne úplně jednoduchou exponenciální rovnici.
Postup č. 2
3ůžeme se na věc podívat „selským rozumem“. Čtverce, které jsou „natočené“, nám výpočty komplikují, protože jejich délky stran vždy obsahují odmocniny. Bylo by proto jednodušší zaměřit se pouze na „vodorovné“čtverce. Jak je vidět na obrázku, délky stran se vždy „smrsknou“na polovinu ( jedná se o střední příčky trojúhelníka, pro které platí, že jsou vždy poloviční vzhledem ke straně, se kterou jsou rovnoběžné). To znamená, že délky jejich stran popořadě jsou: 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1… K hledanému číslu 1 jsme se tak dostali i bez rovnic. Stačí jen spočítat, o délku strany kolikátého čtverce se jedná. Pozor na to, že počítáme pouze liché čtverce!
Oběma způsoby se dostaneme k odpovědi: Obsah 2 má 13. čtverec v pořadí. 1cm