Řešíme společně

Zadání:

Součástí hasičského bálu je bohatá tombola. První cenou je živé sele. Dalších 54 cen je drobnějších. K prodeji je nachystáno 500 losů. Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že pár, který si koupil 3 losy: a) vyhraje sele, b) vyhraje alespoň 1 cenu.

Při výpočtu pravděpodobnosti se můžeme setkat s několika možnými způsoby výpočtu. My si obvykle vystačíme s klasickou pravděpodobností, kterou můžeme vyjádřit takto: Pokud budeme chtít určit např. pravděpodobnost toho, že při hodu kostkou hodíme číslo 6, můžeme na první pohled odpovědět, že 1/6, tzn. přibližně 17 %. Příznivý výsledek je totiž jediný (šestka na kostce) a celkem máme 6 možností (na kostce je 6 různých čísel). V našem příkladu ale ani jednu z potřebných hodnot takto jednoduše neurčíme. Ani nebude v našich silách si všechny tyto možnosti vypsat a spočítat. Vezmeme si proto na pomoc kombinatoriku. Na to, jakým způsobem, se podíváme konkrétně v následujících příkladech. V obou příkladech a), b) vybíráme 3 losy z 500. To znamená, že počet všech možných výsledků bude v obou těchto případech stejný: V tombole je celkem 500 lístků. A my vybíráme 3 z nich. Otázkou je, kolika způsoby to můžeme provést. Na pořadí nezáleží. Jde nám jen o to, co máme v ruce. Jedná se proto o kombinace. Jejich počet určíme pomocí vzorce, kerý je potřeba znát, takto:

Všech možností vytáhnout 3 losy z 500 je tedy opravdu víc než dost. Je dokonce možné, že vám kalkulačka odmítne takto vysoké kombinační číslo spočítat. Je proto potřeba dokázat si pomoct rozepsáním tak, jako jsme si to teď společně ukázali. Počet příznivých výsledků bude v každém z příkladů jiný. Vezmeme to postupně: a) Zajímá nás, kolik máme možností vybrat trojici losů tak, aby mezi nimi byl ten jediný „zlatý“, který vyhrává sele. To znamená, že vybíráme 1 los z 1 (žádný další sele nevyhrává) a další dva losy z naší trojice vybíráme z 499 zbylých. Máme

možností vytáhnout trojici losů, mezi nimiž je jeden „zlatý“. Pravděpodobnost, že pár při koupi 3 lístků vyhraje sele, je ,

b) Tentokrát netrváme na tom, abychom vyhráli sele. Stačí nám vyhrát cokoliv. Aspoň jednou. To znamená, že „budeme spokojení“, ať už vyhrají 1, 2, nebo všechny 3 losy. Výsledek bychom mohli zjistit sečtením jednotlivých pravděpodobností pro 1, 2 a 3 vítězné losy. Mnohem jednodušší ale bude úlohu trošku obrátit. Existuje totiž jen jediná možnost, kdy spokojení nebudeme. Můžeme říct, že máme 100% jistotu, že mezi 3 losy bude buď 0,1, 2, nebo 3 vítězné. Žádná jiná možnost neexistuje. Stačí proto určit pravděpodobnost, že mezi taženými losy nebude ani jeden vítězný (tzn. všechny 3 budou vybrány z 445 nevyhrávajících):

Pravděpodobnost, že mezi vybranými 3 losy bude alespoň jeden vítězný, je téměř 30 %.