Partons sur les chemins auto-évitants
CE SONT DES OBJETS MATHÉMATIQUES DONT LA COMPRÉHENSION FAIT APPEL AUX THÉORIES LES PLUS EN POINTE
Partir un jour, sans retour ! Si ce refrain est à l’origine du succès d’un éphémère boys band des années 1990, il permet aussi de décrire parfaitement un bel objet mathématique : les chemins auto-évitants. Donnons-nous un quadrillage – le réseau –, et déplaçons un pion sur ce quadrillage de sorte de respecter deux règles : les déplacements se font le long des arêtes du réseau, et on ne repasse jamais deux fois au même endroit. La trajectoire du pion après n déplacements est alors baptisée chemin auto-évitant de longueur n . Malgré cette définition simple, les chemins auto-évitants sont des objets mathématiques dont la compréhension fait appel aux théories mathématiques les plus en pointe.
UNE PREMIÈRE QUESTION
mathématique s’énonce naturellement : combien existe-t-il de chemins auto-évitants de longueur n ? Évidemment, la forme du réseau est essentielle pour pouvoir répondre à ce problème de dénombrement. Sur un réseau hexagonal (où les arêtes forment des « nids d’abeilles »), il y a par exemple 3 chemins auto-évitants de longueur 1 partant d’un point donné ; 6 de longueur 2 ; 12 de longueur 3 ; 24 de longueur 4… Vous avez sûrement repéré un motif dans cette suite de valeurs et le bon sens vous suggère une conjecture. Je vous arrête tout de suite : elle est vraisemblablement destinée au cimetière des conjectures invalidées par contreexemple. Ainsi, il y a 33 471 chemins auto-évitants de longueur 14… Le calcul général se révèle bien plus ardu qu’on ne l’imagine : de petits chemins auto-évitants sont faciles à appréhender, mais dès que la longueur augmente, le nombre de possibilités pour prolonger un chemin auto-évitant dépend beaucoup de la géométrie du chemin déjà parcouru. Certains peuvent se prolonger de plusieurs façons alors que d’autres, non, car on se retrouve uniquement au voisinage de positions déjà visitées. Bref, le calcul explicite échoue dès que la lon- par Roger Mansuy gueur devient grande et les mathématiciens s’attachent plutôt à chercher un « ordre de grandeur » de ce nombre.
UNE PETITE REMARQUE en apparence insignifiante va permettre d’obtenir un premier résultat : tout chemin auto-évitant de longueur mn+ est la mise bout à bout d’un chemin auto-évitant de longueur m et d’un chemin auto-évitant de longueur n . Cette propriété permet, avec une analyse classique, d’en déduire que le nombre de chemins de longueur n est proche, pour n grand, de la puissance n- d’une constante μ , la constante de connectivité du réseau. Dans le cas du réseau hexagonal, le Français Hugo Duminil-Copin et le Russe Stanislav Smirnov (Médaille Fields 2010) ont établi en 2010 que cette constante était égale à (2+ 21/ 2) 2. Cette démonstra
1/ tion est rigoureuse (le physicien néerlandais Bernard Nienhuis avait eu l’intuition de cette valeur en 1982 sans en fournir de preuve). Malheureusement, elle ne se généralise pas à d’autres formes, tel le réseau à maille carrée, dont on ignore toujours la constante de connectivité.
EN REVANCHE, elle amène d’autres questions sur le graphe hexagonal : peut-on décrire la forme d’un chemin auto-évitant de longueur n choisi au hasard ? Connaît-on l’éloignement moyen au point de départ lors du parcours d’un tel chemin ? Autant de questions qui restent ouvertes. Si pour le mathématicien il s’agit maintenant de connaître l’objet limite aléatoire, c’est aussi le moyen de répondre aux questions des premiers utilisateurs des chemins auto-évitants (en remplaçant les arêtes par des liaisons moléculaires) : les chimistes des polymères !