Carrés et cubes magiques

Un carré d’ordre n signifie qu’il contient n2 entiers répartis en n lignes et n colonnes. Attention, certains problèmes nécessitent d’utiliser des entiers consécutifs, alors que d’autres nécessitent seulement des entiers quelconques, mais toujours distinc

Carré d’ordre 3

Ce carré magique était connu en Chine plusieurs siècles avant J.-C.

➔ Le compléter pour que les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales aient la même somme. Tous les entiers de 1 à 9 doivent être utilisés.

Carré d’ordre 3

➔ Compléter ce carré magique pour que les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales aient le même produit. Les entiers utilisés sont distincts entre eux.

Carré d’ordre 4 de Dürer

La gravure Melancolia d’Albrecht Dürer (1471-1528), exposée au musée Condé de Chantilly, a été malmenée par un mauvais plaisantin qui a effacé plusieurs cases du carré magique.

➔ Le compléter pour que les quatre lignes, les quatre colonnes et les deux diagonales aient la même somme. D’autres ensembles de quatre cellules doivent aussi donner cette même somme : les quatre coins, les quatre cellules centrales et les quatre cellules de chaque quart. Tous les entiers de 1 à 16 doivent être utilisés.

Cube d’ordre 3

Cette fois-ci, on passe en trois dimensions !

➔ Compléter ce cube pour que les neuf lignes (exemple en rose), les neuf colonnes (exemple en vert), les neuf piles (exemple en bleu) et les quatre grandes diagonales (celles reliant les sommets opposés du cube, exemple en orange) aient la même somme. Les diagonales internes aux carrés peuvent avoir une somme quelconque. Tous les entiers de 1 à 27 doivent être utilisés.

Carré d’ordre 4

➔ Compléter ce carré pour que les quatre lignes, les quatre colonnes et les deux diagonales aient le même produit. Les entiers restant à placer sont : 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28.

Carré d’ordre 4

➔ Compléter ce carré pour que les quatre lignes et les quatre colonnes aient la même somme et le même produit. Les diagonales ont des sommes et des produits différents. Les entiers déjà placés sont les plus petits de la grille. Tous les entiers utilisés sont distincts entre eux.

Carré d’ordre 3

Toutes les cellules de ce carré sont composées d’entiers carrés, mais six d’entre elles ne sont pas à leur place.

➔ Replacer les cellules de façon à ce que les trois lignes, les trois colonnes, plus une seule diagonale, donnent la même somme.

Carré d’ordre 3

Dans le problème précédent, le carré n’est pas magique, puisqu’une des deux diagonales donne une somme différente.

➔ Construire un carré magique composé de neuf entiers différents, donc ce coup-ci avec deux diagonales magiques.

Sudokus et carrés d’ordre 9

➔ Résoudre séparément ces deux sudokus A et B (en utilisant les carrés C et D). Puis en déduire le carré bimagique C dont chaque cellule est égale à9( a - 1) + b, où a et b sont les entiers correspondants des sudokus A et B. Ainsi, pour la cellule en orange, puisque a = 2 et b= 5, elle vaut c= 9  (2 - 1) + 5 = 9 + 5 = 14. Vérifier que le carré obtenu contient bien tous les entiers de 1 à 81, et que les neuf lignes, les neuf colonnes et les deux diagonales donnent bien la même somme. Vérifier que ce carré est en plus « bimagique » : quand on élève tous ses entiers au carré, le carré obtenu D reste magique. Épatant ! La cellule orange est d= c ² = 14 ² = 196.