Solutions

Carrés et cubes magiques

1. Puisque les entiers de 1 à 9 sont utilisés, et qu’ils sont répartis sur trois lignes ayant la même somme S, on en déduit que S = (1+2+3+…+9)/3 = 45/3 = 15. Ce qui aide à placer les entiers. On remarque que ce carré est associatif : la somme de deux cellules diamétralement opposées par rapport au centre fait toujours la même somme, 10. 2. En prenant la dernière ligne et la deuxième colonne, on aP = 3 y 2=1 x y, donc le centre x = 6. En prenant la première ligne et la diagonale qui passe par 2, on en déduit de la même façon que la cellule au-dessus de 3 est égale à 6  2/3 = 4. Puis la cellule en haut à droite est égale à 4  3/1 = 12. Avec la diagonale maintenant connue, on a le produit magique qui vaut P = 3 6 12 = 216. 3. Puisque les entiers de 1 à 16 sont utilisés, et qu’ils sont répartis sur quatre lignes ayant la même somme S, on en déduit que S = (1+2+3+…+16)/4 = 136/4 = 34. Plus généralement, un carré magique d’ordre n , utilisant les entiers de 1à n², a une somme magique S = nn( ²+1)/2. Puisque les quatre coins doivent donner S, on en déduit la première cellule : 34 – 13 –4 – 1 = 16. Puisque le premier quart doit aussi donner S, sous le 3, il y a donc 34 – 16 –3 – 5 = 10. Etc. Comme le problème 1, on remarque que ce carré est associatif : la somme de deux cellules diamétralement opposées par rapport au centre fait toujours 17. Et l’année de cette gravure est donnée par les deux cellules centrales de la dernière ligne : 1514 ! 4. Puisque les entiers de 1 à 27 sont utilisés, et qu’ils sont répartis sur neuf lignes ayant la même somme S, on peut en déduire que S = (1+2+3+…+27)/9 = 378/9 = 42. Plus généralement, un cube magique d’ordre n, utilisant les entiers de 1 à n3, a une somme magique S = nn( 3+ 1)/2. On en déduit la pile à l’avant droit : sous 10 et 5, il y a 42 – 10 – 5 = 27. Puis avec la grande diagonale passant par 1 et 27, on en déduit le centre 42 – 27 – 1 = 14. Etc. On remarque que le cube est associatif : la somme de deux cellules diamétralement opposées par rapport au centre du cube fait toujours la même somme, 28. Alors qu’il existe un unique carré magique d’ordre 3 (vu au problème 1), il existe trois autres cubes magiques d’ordre 3, avec des cellules différemment placées, et qui ne sont pas des solutions de ce problème. Si vous voulez essayer de trouver ces trois autres cubes, quelques aides : ils ont toujours 14 au centre, ils ont 1 à la place du 19 (centre du carré du haut), et ils ont 2, 10 ou 12 à la place du 1 (première cellule du carré du haut). Et ils sont aussi associatifs. 5. Avec les entiers utilisables, il faut un seul multiple de 7 et un seul multiple de 5 dans chaque ligne, colonne et diagonale. Cela limite très vite les placements. On peut aussi connaître à l’avance le produit magique P en prenant la racine quatrième du produit des seize nombres utilisés :

P = 5040. On obtient un carré créé par l’Américain Harry Sayles en 1913. 6. On peut démarrer la résolution avec la troisième ligne et la quatrième colonne : additives avec S = 16 + 20 + xy+ = 25 + 13 +y + z, et multiplicatives avec P = 16  20 x y = 25  13 y z. D’où x= z + 2, et 64 x = 65 z . D’où 64( z +2) = 65 z. Donc z = 128 et x = 130. Etc. On obtient un carré (S = 247, P = 3 369 600) créé par l’Américain Lee Morgenstern en 2007 qui est « seulement » semi-magique, ses diagonales étant quelconques. Il a été mathématiquement prouvé qu’un carré magique additif-multiplicatif d’ordre 4 est impossible. Le plus petit carré magique additif-multiplicatif actuellement connu est d’ordre 7, créé récemment, en 2016, par le Français Sébastien Miquel. Personne n’a encore réussi à construire des magiques d’ordre 5 ou 6, qui font l’objet d’un concours (www.multimagie.com) 7. En faisant la somme des neuf entiers carrés, et en divisant par 3, on en déduit que la somme magique est 21609, qui aussi un carré : 147². On arrive ensuite à placer les entiers pour qu’ils respectent cette somme. Ce carré appartient à une famille de carrés semi-magiques de carrés, de somme magique ( p² + q ² + r ² + s ²)², inventée par Edouard Lucas en 1876. Ici ( pqrs, , , ) =(1, 3, 4, 11). 8. Il n’y a pas de solution connue. Des carrés magiques de carrés sont connus pour les ordres supérieurs ou égal à 4, par exemple celui d’ordre 9 du problème 9, quand les entiers du carré bimagique sont élevés au carré. Mais personne n’est encore arrivé à construire un petit carré d’ordre 3, ni à prouver que c’est impossible ! On ne connaît même pas un carré magique d’ordre 3 composé d’au moins huit carrés. Et on connaît ce seul carré magique (à ses rotations, symétries, et multiples près) composé de sept carrés. Un prix de 1000 euros et une bouteille de champagne sont offerts au premier qui trouvera une solution à ce problème (multimagie.com). 9. Dans le carré D, la deuxième cellule vaut 2025. Donc dans le carré C, cette cellule vaut racine carrée de 2025, c’est-à-dire 45. Puisque 9 ( a- 1) +b = 45, avec 1 ≤≤a 9 et 1 ≤≤b 9, on en déduit : a = 5 dans le sudoku A, et b = 9 dans le sudoku B. Faire de même pour les autres cellules connues de C ou D, en remontant les données dans A et B. Puis la résolution des deux sudokus se fait de manière classique. Remarquer la structure répétitive tournante à l’intérieur des deux sudokus. La méthode de Tarry-Cazalas, inventée il y a un peu plus d’un siècle, permet ainsi de générer ce carré bimagique dont la somme magique est 369. Quand les entiers sont élevés au carré, la somme magique est 20049. Ces sommes sont également vraies quand on additionne les neuf cellules de chaque sous-carré 3  3.