LA CHRONIQUE MATHÉMATIQUES

Quand la réalité rattrape la fiction

Vous regardez votre série policière favorite et, d’un seul coup, vous vous énervez : on essaie vraiment de vous faire croire qu’à partir de la photo, prise dans une nuit brumeuse, d’une voiture que l’on distingue à peine, on a pu extraire une image nette de la plaque d’immatriculation ! Décidément, l es scénar istes prennent les téléspectateurs pour des idiots… ou alors ils sont vraiment au fait des mathématiques récentes ! Pour s’en convaincre, jetons un oeil au journal de recherche en traitement de l’image IPOL (pour Image Processing On Line). Celui-ci propose, outre la publication des articles, des implémentations libres et accessibles des algorithmes sousjacents. Le lecteur peut ainsi constater quelques réussites extraordinaires en traitement de l’image, dont certaines sont vraiment aussi bluffantes – voire davantage – que celles présentées dans votre série télévisée.

REVENONS À NOS ENQUÊTEURS.

La plupart du temps, ils disposent d’une photo et veulent séparer ce qui, dans l’image, est signifiant – malicieusement appelé cartoon – de ce qui ne l’est pas – appelé texture. Par exemple, on voudrait pouvoir distinguer une empreinte digitale des reflets de la surface sur laquelle on l’a trouvée. On veut en quelque sorte extraire la quintessence de l’image. Pour le mathématicien, la situation se traduit en termes assez voisins : une image est une fonction (qui associe à chaque point les caractéristiques de l’image en ce point). Il s’agit de décomposer cette fonction comme la somme de deux fonctions. Il suffit alors de définir ce qui fait qu’une fonction correspond au cartoon, ce qui fait qu’une fonction correspond à la texture, et de définir un critère qui permette de choisir, parmi toutes les décompositions possibles, celle qui semble la « meilleure ». Une fois ce travail effectué, il faut encore exhiber une méthode permettant d’obtenir cet optimum de manière efficace. Les recherches dans ce domaine de l’analyse fonctionnelle sont assez techniques et requièrent souvent une intuition fine d’objets beaucoup plus complexes que les images qui servent de prétexte à cette chronique. Le premier résultat important est dû, en 1992, au mathématicien soviétique (passé aux États-Unis) Leonid Rudin et à ses collaborateurs Stanley Osher et Emad Fatemi – ce qui lui vaut le surnom de « méthode ROF ». La décomposition obtenue ne correspond pas vraiment aux objectifs pour une exploitation en traitement de l’image. En 2001, Yves Meyer, qui recevra le prestigieux prix Abel en 2017, a repris la démarche ROF en changeant les différents paramètres : un cartoon devra désormais appartenir à un ensemble de fonctions appelé BV (« à variations bornées »), une texture devra être dans l’espace dual de BV (encore plus compliqué à appréhender, même pour les mathématiciens) et le critère de sélection sera construit en partant de ce choix de propriétés. Il a ainsi pu fournir une nouvelle preuve mathématique accompagnée d’un algorithme pertinent. À nouveau adapté en 2011 par Antonin Chambolle, de l’École polytechnique, et Thomas Pock, de l’université technique de Graz, en Autriche, cela donne l’algorithme que Vincent Le Guen, de Télécom ParisTech, présente au journal IPOL en 2014 et que vous pouvez tester en ligne (1).

RESTE UNE QUESTION : enquêteurs et scénaristes ont-ils vraiment connaissance de ces résultats de pointe ? JeanMichel Morel, dans une conférence en hommage à Yves Meyer à l’ENS ParisSaclay, a fait défiler quelques images sur lesquelles des utilisateurs « anonymes » avaient fait fonctionner l’algorithme. En regardant les détails, il ne fait aucun doute que certaines provenaient directement des grandes agences de sécurité américaines. Bonne ou mauvaise nouvelle, il semblerait que le FBI surveille aussi les avancées mathématiques ! (1) http://demo.ipol.im/demo/103

RogerMan su y, professeur au lycée Louis-le-Grand, à Paris, nous raconte, chaque mois, un thème mathématique inspiré par un exposé grand public. Retrouvez le texte, accompagné des images, de la conférence de JeanMichel Morel à l’ENS Paris-Saclay, sur https://tinyurl.com/ens-morel

Les enquêteurs connaissent-ils ces réussites en traitement de l’image ?