LA CHRO­NIQUE MA­THÉ­MA­TIQUES

Quand la réa­li­té rat­trape la fic­tion

La Recherche - - Sommaire - Ro­ger Man­suy

Vous re­gar­dez votre sé­rie po­li­cière fa­vo­rite et, d’un seul coup, vous vous éner­vez : on es­saie vrai­ment de vous faire croire qu’à par­tir de la photo, prise dans une nuit bru­meuse, d’une voi­ture que l’on dis­tingue à peine, on a pu ex­traire une image nette de la plaque d’im­ma­tri­cu­la­tion ! Dé­ci­dé­ment, l es scé­nar istes prennent les té­lé­spec­ta­teurs pour des idiots… ou alors ils sont vrai­ment au fait des ma­thé­ma­tiques ré­centes ! Pour s’en convaincre, je­tons un oeil au jour­nal de re­cherche en trai­te­ment de l’image IPOL (pour Image Pro­ces­sing On Line). Ce­lui-ci pro­pose, outre la pu­bli­ca­tion des ar­ticles, des im­plé­men­ta­tions libres et ac­ces­sibles des algorithmes sous­ja­cents. Le lec­teur peut ain­si consta­ter quelques réus­sites ex­tra­or­di­naires en trai­te­ment de l’image, dont cer­taines sont vrai­ment aus­si bluf­fantes – voire da­van­tage – que celles pré­sen­tées dans votre sé­rie té­lé­vi­sée.

REVENONS À NOS EN­QUÊ­TEURS.

La plu­part du temps, ils dis­posent d’une photo et veulent sé­pa­rer ce qui, dans l’image, est si­gni­fiant – ma­li­cieu­se­ment ap­pe­lé car­toon – de ce qui ne l’est pas – ap­pe­lé tex­ture. Par exemple, on vou­drait pou­voir dis­tin­guer une em­preinte di­gi­tale des re­flets de la sur­face sur la­quelle on l’a trou­vée. On veut en quelque sorte ex­traire la quin­tes­sence de l’image. Pour le ma­thé­ma­ti­cien, la si­tua­tion se tra­duit en termes as­sez voi­sins : une image est une fonc­tion (qui as­so­cie à chaque point les ca­rac­té­ris­tiques de l’image en ce point). Il s’agit de dé­com­po­ser cette fonc­tion comme la somme de deux fonc­tions. Il suf­fit alors de dé­fi­nir ce qui fait qu’une fonc­tion cor­res­pond au car­toon, ce qui fait qu’une fonc­tion cor­res­pond à la tex­ture, et de dé­fi­nir un cri­tère qui per­mette de choi­sir, par­mi toutes les dé­com­po­si­tions pos­sibles, celle qui semble la « meilleure ». Une fois ce tra­vail ef­fec­tué, il faut en­core ex­hi­ber une mé­thode per­met­tant d’ob­te­nir cet op­ti­mum de ma­nière ef­fi­cace. Les re­cherches dans ce do­maine de l’ana­lyse fonc­tion­nelle sont as­sez tech­niques et re­quièrent sou­vent une in­tui­tion fine d’ob­jets beau­coup plus com­plexes que les images qui servent de pré­texte à cette chro­nique. Le pre­mier ré­sul­tat im­por­tant est dû, en 1992, au ma­thé­ma­ti­cien so­vié­tique (pas­sé aux États-Unis) Leo­nid Ru­din et à ses col­la­bo­ra­teurs Stan­ley Osher et Emad Fa­te­mi – ce qui lui vaut le sur­nom de « mé­thode ROF ». La dé­com­po­si­tion ob­te­nue ne cor­res­pond pas vrai­ment aux ob­jec­tifs pour une ex­ploi­ta­tion en trai­te­ment de l’image. En 2001, Yves Meyer, qui re­ce­vra le pres­ti­gieux prix Abel en 2017, a re­pris la dé­marche ROF en chan­geant les dif­fé­rents pa­ra­mètres : un car­toon de­vra dé­sor­mais ap­par­te­nir à un en­semble de fonc­tions ap­pe­lé BV (« à va­ria­tions bor­nées »), une tex­ture de­vra être dans l’es­pace dual de BV (en­core plus com­pli­qué à ap­pré­hen­der, même pour les ma­thé­ma­ti­ciens) et le cri­tère de sé­lec­tion se­ra construit en par­tant de ce choix de pro­prié­tés. Il a ain­si pu four­nir une nou­velle preuve ma­thé­ma­tique ac­com­pa­gnée d’un al­go­rithme per­ti­nent. À nou­veau adap­té en 2011 par An­to­nin Cham­bolle, de l’École po­ly­tech­nique, et Tho­mas Pock, de l’uni­ver­si­té tech­nique de Graz, en Au­triche, ce­la donne l’al­go­rithme que Vincent Le Guen, de Té­lé­com Pa­risTech, pré­sente au jour­nal IPOL en 2014 et que vous pou­vez tes­ter en ligne (1).

RESTE UNE QUES­TION : en­quê­teurs et scé­na­ristes ont-ils vrai­ment connais­sance de ces ré­sul­tats de pointe ? JeanMi­chel Mo­rel, dans une confé­rence en hom­mage à Yves Meyer à l’ENS Pa­risSa­clay, a fait dé­fi­ler quelques images sur les­quelles des uti­li­sa­teurs « ano­nymes » avaient fait fonc­tion­ner l’al­go­rithme. En re­gar­dant les dé­tails, il ne fait au­cun doute que cer­taines pro­ve­naient di­rec­te­ment des grandes agences de sé­cu­ri­té amé­ri­caines. Bonne ou mau­vaise nou­velle, il sem­ble­rait que le FBI sur­veille aus­si les avan­cées ma­thé­ma­tiques ! (1) http://de­mo.ipol.im/de­mo/103

Ro­gerMan su y, pro­fes­seur au ly­cée Louis-le-Grand, à Pa­ris, nous ra­conte, chaque mois, un thème ma­thé­ma­tique ins­pi­ré par un ex­po­sé grand pu­blic. Re­trou­vez le texte, ac­com­pa­gné des images, de la confé­rence de JeanMi­chel Mo­rel à l’ENS Pa­ris-Sa­clay, sur https://ti­nyurl.com/ens-mo­rel

Les en­quê­teurs connaissent-ils ces réus­sites en trai­te­ment de l’image ?

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