Η αρχή του Απείρου

STEVEN STROGATZ, Άπειρες δυνάμεις, εκδόσεις Κάτοπτρο, σελ. 480

Ο απειροστικός λογισμός είναι η γλώσσα που μιλάει ο Θεός

Είναι

πολλοί όσοι έχουν έρθει σε επαφή με τον απειροστικό λογισμό στα μαθητικά τους χρόνια. Ακόμη και η λεγόμενη «θεωρητική» κατεύθυνση κάτι από συναρτήσεις έκανε. Οι υπόλοιποι, οι περισσότεροι δηλαδή, στην Γ΄ τάξη του Λυκείου ασχολήθηκαν πολύ με όρια, μονοτονίες, συνέχειες και ασυνέχειες, παραγώγους, ολοκληρώματα… Άλλωστε, ο απειροστικός λογισμός αποτελεί την ύλη των πανελλαδικών εξετάσεων στα μαθηματικά. Η επιλογή αυτή είναι δικαιολογημένη. Αν, μάλιστα, όπως λέει ο Feynman, πρόκειται για τη γλώσσα του Θεού, υπάρχει και υπερβατική δικαιολόγηση. Ακόμα, όμως, κι αν δεν είναι έτσι, είναι βέβαιο πως η Φύση καταλαβαίνει καλά αυτήν τη γλώσσα. Αποκρίνεται, δηλαδή, στα ερωτήματα που τής τίθενται σε αυτήν τη γλώσσα και απαντάει με τον ίδιο τρόπο.

Τι είναι, όμως, ο απειροστικός λογισμός; Οι παράγωγοι και τα ολοκληρώματα, είναι μια απάντηση. Και άλλα πολλά, αλλά κυρίως αυτά. Πρόκειται, για να το πω πρόχειρα, για πεπερασμένα αποτελέσματα, που προκύπτουν με την χρήση του Απείρου - και του απειροστού, που σημαίνει του απείρως μικρού. Ο απειροστικός -διαφορικός και ολοκληρωτικός- λογισμός βάζει το Άπειρο να δουλέψει για «ωφέλιμους» σκοπούς, όπως η εύρεση εμβαδών, κλίσεων δρόμων, η πρόγνωση καιρού, η σεισμογραφία, η μελέτη της κίνησης των γαλαξιών, του Σύμπαντος ως όλου - και άπειρους, κυριολεκτικά, άλλους.

Στην καρδιά του λογισμού βρίσκεται η αρχή του Απείρου: Για να ρίξουμε φως σε οποιοδήποτε συνεχές σχήμα, αντικείμενο, κίνηση, διαδικασία ή φαινόμενο -ανεξάρτητα από το πόσο δύσκολο και περίπλοκο ενδέχεται να μοιάζει αυτό- το φανταζόμαστε ως μια άπειρη σειρά απλούστερων μερών, αναλύουμε τα μέρη αυτά, και κατόπιν αθροίζουμε τα αποτελέσματα ώστε να κατανοήσουμε το αρχικό όλον.

Ο Αρχιμήδης ήδη τον 3ο π.Χ. αιώνα είχε αξιοποιήσει την αρχή του Απείρου, προκειμένου να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου. Ο κύκλος είναι ένα πολύ ιδιαίτερο σχήμα: αλλάζει χωρίς να αλλάζει. Επιπλέον, εμφανίζεται παντού στη φύση. Ο Αρχιμήδης, λοιπόν, απέδειξε έναν τύπο για το εμβαδόν, αφού διαίρεσε τον κύκλο σε φέτες, όπως κάνουμε όταν κόβουμε την πίτσα. Μόνο που η δική του διαίρεση έτεινε να χωρίσει τον κύκλο σε άπειρες φέτες. Προσθέτοντάς τες, στη συνέχεια, με τον κατάλληλο τρόπο, κατέληξε πως το εμβαδόν του κύκλου δίνεται ως το γινόμενο της ημιπεριφέρειας, C/2, επί την ακτίνα r. Τα παιδιά του Γυμνασίου ξέρουν ότι ο τύπος του εμβαδού είναι πr2, ο τύπος του Αρχιμήδη, δηλαδή, εφόσον C =2πr.

Το πρόβλημα αυτό δεν είναι καθόλου όσο εύκολο φαίνεται. Το σημαντικότερο, όμως, είναι ότι η τεχνική του Αρχιμήδη, της άπειρης διαίρεσης και του άπειρου αθροίσματος, έμελλε να αποδειχτεί το μεγαλύτερο μαθηματικό όπλο τόσο για την θεωρητική έρευνα όσο και για την αναζήτηση μοτίβων και νόμων στη φύση. Επιπλέον, εμφανίστηκε και ο αριθμός π. Ο οποίος όπως φάνηκε από τη μετέπειτα έρευνα εμφανίζεται παντού, σε μέρη που κανείς δεν τον περιμένει. Ο π συνδέεται, επίσης, ισχυρά με το άπειρο. Είναι υπερβατικός αριθμός. Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία -πράγμα που σημαίνει ότι η γνωστή τιμή του 3.14 περιλαμβάνει μόνο τους δύο πρώτους από αυτήν την απειρία αριθμών. Μια απειρία αριθμών μέσα στην οποία δεν εμφανίζεται καμιά επανάληψη.

Αιώνες μετά, ο Νεύτων αντικατέστησε τις απειροστές φέτες με άπειρες δυνάμεις ενός συμβόλου x, όπως x2, x3 κ.ο.κ. Στην πραγματικότητα, γενίκευσε την διατύπωση των αριθμών με άπειρα δεκαδικά ψηφία, γράφοντάς τους ως άπειρο άθροισμα δυνάμεων. Το τέχνασμα λειτουργεί έκτοτε τέλεια και είναι από τις παραδειγματικές στιγμές χρήσης του Απείρου. Ο Νεύτων είναι, μαζί με τον Leibnitz, o θεμελιωτής του απειροστικού λογισμού. Ο Leibnitz, μάλιστα, δεν δείλιασε να θεωρήσει τα διαφορικά ως πραγματικές οντότητες δίνοντας υπόσταση σε αυτά τα διάσημα, ως εικόνες, dx, dψ, dz, dt,… Τα διαφορικά είναι τα μικρότερα τμήματα ενός μεγέθους, χωρίς να είναι μηδέν. Δίπλα και όλο πιο δίπλα στο μηδέν, αλλά όχι «ακριβώς» μηδέν. Απείρως μικρά, όχι μηδέν.

Βέβαια, το Άπειρο είναι άγριο πράγμα. Αν δεν το χρησιμοποιήσεις με προσοχή οδηγεί