Μαθηματικά και Χρηματοοικονομική
Ηχρηματοοικονομική (finance) αφορά την εξεύρεση και διαχείριση κεφαλαίων. Η βασική αρχή που διέπει τη διαχείριση (βέλτιστη) κεφαλαίων είναι το δίδυμο απόδοση-κίνδυνος (return - risk). Η χρηματοοικονομική διακρίνεται σε δύο μεγάλες θεματικές ενότητες: Χρηματοοικονομική Επιχειρήσεων (Corporate Finance) και Χρηματοοικονομικές Αγορές (Financial Markets). Τα μαθηματικά έχουν εισέλθει στη χρηματοοικονομική από τις αρχές του 20ού αιώνα. Το 1900 ο Γάλλος μαθηματικός Louis Bachelier (1870-1946) με το διδακτορικό του «Θεωρία της Κερδοσκοπίας», υπό την επίβλεψη του Henri Poincare (μαθηματικός, θεωρητικός φυσικός, μηχανικός και φιλόσοφος), ιδρύει τα χρηματοοικονομικά μαθηματικά (financial mathematics).
1973-1990
To 1973 οι Fisher Black (διδακτορικό στα εφαρμοσμένα μαθηματικά από το Harvard University) και Myron Scholes (Καναδοαμερικανός, Financial Economist), περιγράφουν τις μεταβολές της τιμής ενός χρεογράφου με ένα μαθηματικό μοντέλο το οποίο έγινε παγκόσμια νόρμα με το όνομα «Black - Scholes options pricing model». Το ιστορικό αυτό μοντέλο διατυπώνει με έμφαση ότι η μεταβλητότητα (volatility), εξ ορισμού χαοτική, μοιάζει με μια κίνηση Brownian η οποία περιεγράφη για πρώτη φορά το 19ο αιώνα από τον βοτανολόγο Robert Brown. Το 1905 o Αϊνστάιν εξηγούσε πως τα παλλόμενα μόρια του νερού προκαλούσαν αυτή την κίνηση Brown. Σήμερα το πρόβλημα με το μοντέλο Black-Scholes είναι ότι εμφανίζεται όλο και πιο απλοϊκό για να περιγράψει αποτελεσματικά τη μεταβλητότητα των χρηματοοικονομικών αγορών. Παρατηρείται με έμφαση ότι το μοντέλο αυτό δεν είναι συμβατό με τις μεταβολές των τιμών που πραγματικά εμφανίζονται, κυρίως αυτές των παράγωγων προϊόντων. Νέες στατιστικές μέθοδοι οι οποίες προέρχονται από τον χώρο της επιστήμης των μαζικών δεδομένων (big data), επιτρέπουν την κατασκευή πιο πολύπλοκων μοντέλων για τη μελέτη των μεταβολών των τιμών (προτείνεται η προσεγγιστική μεταβλητότητα «rough volatility»). Η μεταβλητότητα αυτή χαρακτηρίζεται πιο τυχαία και από την κίνηση Brownian. Αυτός ο χαρακτήρας εξαιρετικά τυχαίος είναι καθολικός, διότι παρατηρήθηκε σε ένα μεγάλο δείγμα 6.000 χρεογράφων που μελετήθηκαν. Το 1990, το Νόμπελ Οικονομικών δόθηκε σε τρεις Αμερικανούς επιστήμονες: Harry Markowitz, Merton Miller και William Sharpe. Οι Harry Markowitz και William Sharpe ανέπτυξαν τη Θεωρία Χαρτοφυλακίων (Portfolio Theory), με το Markowitz να προτείνει πρώτος το μοντέλο της αγοράς το 1952 (market model) το οποίο στηρίζεται στο δίδυμο risk-return. Ο Sharpe το απλοποίησε σημαντικά το 1964 για να είναι εύχρηστο στους διαχειριστές χαρτοφυλακίων (portfolio managers). Ο Merton Howard Miller (1923-2000), ένας Αμερικανός οικονομολόγος, με το συνάδελφό του Franco Modigliani (Ιταλοαμερικανός οικονομολόγος, νομπελίστας το 1985), πρότειναν τη βέλτιστη δομή ιδίων-ξένων κεφαλαίων (debt-equity structure-financial leverage). Οι εξελίξεις στη θεωρία-διαχείριση χαρτοφυλακίων έχουν προχωρήσει σήμερα σε σημαντικό βαθμό προσαρμοσμένες στις νέες ανάγκες της χρηματοοικονομικής των αγορών και της κάλυψης του κινδύνου από νέα πολύπλοκα χρεόγραφα (βλ. το ειδικό τεύχος του σημαντικού περιοδικού «European Journal of Operational Research», όπου οι καθηγητές Constantin Zopounidis, Michael Doumpos και Frank J. Fabozzi, το αφιερώνουν στον νομπελίστα Harry Markowitz για τα 60 χρόνια της συνεισφοράς του στη θεωρία χαρτοφυλακίων και την επιχειρησιακή έρευνα «60 years following Harry Markowitz’s contribution to portfolio theory and operations research», vol. 234, issue 2, pages 343-582 (16 April 2014).
Η κρίση των subprimes - νέα εργαλεία
Η κρίση των subprimes που ξεκίνησε από τις ΗΠΑ δεν μείωσε καθόλου την ανάπτυξη μαθηματικών υποδειγμάτων στη χρηματοοικονομική (αρκετοί θεωρούσαν υπεύθυνα να μαθηματικά υποδείγματα στη χρηματοοικονομική κρίση της περιόδου 2007-2008). Αντίθετα, δημιουργήθηκαν νέα εργαλεία για να μοντελοποιήσουν τη μεταβλητότητα των τιμών και να προσδιορίσουν το «βήμα» (την απόσταση) μεταξύ των δύο τιμών ενός χρεογράφου (μετοχής). Το MiFID II (Markets in Financial Instruments Directive (σε εφαρμογή από 3/1/2018) μετέβαλε μια από τις παραμέτρους-κλειδιά των χρηματοοικονομικών αγορών: την απόσταση μεταξύ δύο συνεχόμενων τιμών ενός χρεογράφου. Αυτός ο όρος σημαίνει: «η πιο μικρή επιτρεπόμενη διαφορά ανάμεσα στις τιμές δύο συνεχόμενων συναλλαγών». Η ερώτηση που τίθεται στους ερευνητές είναι πώς ορίζεται η βέλτιστη διαφορά μεταξύ των δύο τιμών. Ο Mathieu Rosenbaum της Πολυτεχνικής Σχολής (Centre des Mathematiques Appliquees - CMAP), ανέπτυξε νέα μοντέλα με ζώνες αβεβαιότητας της βέλτιστης διαφοράς. Μια πιλοτική εφαρμογή των μοντέλων αυτών έγινε στο Χρηματιστήριο του Τόκυο από το 2014. Σε ό,τι αφορά τη μεταβλητότητα, προτάθηκε η «προσεγγιστική μεταβλητότητα» (rough volatility) από τους G. Livieri, S. Mouti, A. Pallavicini και Μ. Rosenbaum στο άρθρο «Rough volatility: evidence from option prices, IISE Transactions, DOI. 1080/247258 54.2018.1444297». Ο όρος αυτός χρησιμοποιήθηκε σε χρονολογικές σειρές για την ιστορική εξέλιξη του δείκτη S&P 500. Για τη μελλοντική μεταβλητότητα (από σήμερα έως και 150 μέρες μετά), το μοντέλο της «rough volatility» επιτρέπει το λιγότερο να «τακτοποιήσει» τα δεδομένα, απομακρύνοντας μερικές κινήσεις μετοχών που είναι ακραίες (απίθανες) και να υιοθετήσει άλλες οι οποίες είναι πιο πιθανές από το μέσο όρο. Ο κεντρικός στόχος αυτών των ερευνών είναι, βέβαια, να επιτρέψει στους επενδυτές να βελτιστοποιήσουν τη στρατηγική κάλυψης των κινδύνων. Η έρευνα στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά συνεχίζεται με μεγάλο ζήλο. Ο στόχος βέβαια δεν είναι η χρηματοοικονομική να γίνει πολύπλοκη και αποσυνδεμένη από την πραγματική οικονομία, αλλά περισσότερο «αγκιστρωμένη» στις πραγματικές ανάγκες της αγοράς.