De rijkdom van wiskundig biljarten
Een wiskundige biljartbal kan oneindig doorkaatsen. Als de bal geheugen heeft, botst-ie tegen het eerder achtergelaten spoor.
AMSTERDAM. „Toen de studenten me de eerste simulaties lieten zien, dachten we: dit kan niet kloppen. Dus hebben we het meerdere keren getest, met verschillende codes, in verschillende computertalen. Maar we bleven deze vormen zien.”
Maziyar Jalaal, natuurkundige aan Universiteit van Amsterdam, en zijn studenten konden het maar lastig geloven. Hun simulatie van een doodeenvoudig ‘biljart-met-geheugen’ gaf eindeloos gedetailleerde, steeds variërende symmetrische patronen die wel wat doen denken aan fractals of symmetrische islamitische kunstwerken. Ze publiceerden hun resultaten in het natuurkundevakblad Physical Review Letters.
Het begon met een spontaan idee tijdens de pandemie, vertelt Jalaal, Iraans-Amerikaan en via Canada, Twente en Cambridge in Amsterdam terechtgekomen. „Ik zat thuis vast en las veel over het werk van Maryam Mirzakhani.” Mirzakhani (Iran, 19772017) was de eerste vrouwelijke winnaar van de Fields-medaille. Ze deed onderzoek aan ‘mathematische biljarten’, een soort geïdealiseerde versie van het groene laken in het café.
Een schat aan resultaten
De wiskundige biljartbal heeft geen afmetingen en geen wrijving, en blijft dus maar kaatsen tegen de wanden. Jalaal: „Het balletje kan bijvoorbeeld terugkomen op zijn route, of juist steeds nieuwe stukken laken verkennen.” Ook niet-vierhoekige biljarttafels zijn onderzocht, van driehoekig en cirkelvormig tot extreem gecompliceerd, met een schat aan wiskunderesultaten. Jalaal: „Ik kreeg het idee dat je zo’n biljart kan gebruiken als een eenvoudige vorm van actieve materie.”
Actieve materie, een momenteel hippe tak van de natuurkunde, gaat over het collectieve gedrag van eenvoudige componenten die zelf actief bijdragen aan hun beweging: krioelende insecten of zaadcellen die zich voortbewegen met zweepstaartjes. Jalaal: „Stel nu dat je die een vorm van geheugen geeft. Er zijn mieren die een soort geursporen afscheiden, die andere mieren volgen. En slijmzwammen vermijden juist hun eigen slijmsporen. Zo wordt er een soort geheugen vastgelegd in de ruimte.”
Stel dat een biljartbal niet alleen tegen de wanden kaatst, maar ook tegen het spoor dat hij eerder heeft achtergelaten. Vroeg of laat komt het deeltje dan zijn eigen spoor tegen. Jalaal: „Na een paar uur spelen met het idee was ik er wel achter dat de deeltjes uiteindelijk altijd vastlopen.” Dat eindpunt kwam soms al heel snel, soms liet het juist lang op zich wachten. De plaats van vastlopen was al helemaal lastig voorspelbaar.
„Ik heb wel geprobeerd om wiskundig zaken te bewijzen, maar eerlijk gezegd kwam ik daar als natuurkundige niet ver mee”, erkent hij. In Nederland besloot hij het samen met masterstudenten Thijs Albers, Stijn Delnoij en Nico Schramma op een natuurkundige manier aan te pakken: gewoon het spoor van honderden miljoenen biljartballen simuleren in een computer. „Zo krijg je een verdeling van spoorlengtes, en een dichtheidskaart van waar het deeltje vastloopt.”
En toen stak dus die wonderlijke complexiteit de kop op, die ook nog eens chaotisch gedrag vertoonde: een piepklein verschil in beginpunt maakt een enorm verschil in eindpunt. Dat levert de ragfijne details in de dichtheidskaarten op. „Je kunt op deze patronen inzoomen en steeds maar nieuwe patronen vinden, eindeloos.”
Doet denken aan fractals
Dat doet denken aan fractals, de beroemde, eindeloos inzoombare, zelfgelijkende structuren die het product zijn van eenvoudige wiskundige vergelijkingen. „Maar ik denk dat het geen fractals zijn, omdat ze dus niet op zichzelf lijken.”
De vormenrijkdom roept nog wel meer vragen op. „Bij veelhoeken met een oneven aantal zijden eindigen de deeltjes vaker in het midden, bij een even aantal zijden juist aan de rand. Geen idee waarom.” In sommige dichtheidskaarten wijzen donkere vlekken op gebieden waar het deeltje bijna nooit eindigt. En de meeste deeltjes lopen al vrij snel vast, maar sommigen gaan honderden keren langer door, opnieuw om grotendeels onduidelijke redenen. Fascinerend vindt Jalaal vooral het gegeven dat zo’n simpel uitgangsidee zoveel complexiteit oplevert. „Het werd een beetje een obsessie, er gaat geen dag voorbij dat ik hier niet aan werk of over lees.”
Toepassingen liggen mogelijk in onderzoek van zoek- of foerageergedrag van dieren, of het optimaliseren van zoekstrategieën bij reddingswerkzaamheden, denkt Jalaal. „En je kunt denken aan cryptografie-algoritmen, waarbij onvoorspelbaarheid juist een voordeel is.”
Al is deze publicatie vooral een allereerste verkenning. „Ik hoop dat dit niet alleen natuurkundigen inspireert, maar ook wiskundigen. Ik denk eigenlijk dat die daar beter voortgang in kunnen maken dan wij.”
Er gaat geen dag voorbij dat ik hier niet aan werk
Maziyar Jalaal natuurkundige