Journal of Wuhan Conservatory of Music
序列编序与矩阵算法——论十二音序列矩阵的数性与神性/许琛
——论十二音序列矩阵的数性与神性
许琛
摘 要：十二音序列作为新概念和创作的新工具，其本身是对前调性-调性音乐时期经历长期“蒸馏”过程的结晶。数学作为现代科学的支柱，是许多新概念与新工具的相当有效的源泉，之于音乐，同样有效。文章将数值分析领域的重要问题——矩阵运算——引入勋伯格、韦伯恩、罗忠镕等人的十二音序列作品，以探究原型序列设计与序列矩阵整体之间的关系、序列矩阵的形式化样态建构、内在逻辑关系等理性的结构主义思维和与之相关联的神圣性观念。关键词：十二音序列矩阵；转置变换；初等变换；巴赫对称轴；姓名动机
中图分类号：J614 文献标识码：A DOI：10.19706/j.cnki.cn42-1062/j.2019.02.003
勋伯格开创十二音序列音乐。他就像一个充满创造力的数学家一样，必须对所创建的新音乐极其严谨，全神贯注。如果没有强烈的内在动机，他是不可能成功的。从被公认为是第一次使用十二音序列技法完成的作品《五首钢琴曲》（Op.23，1923）之末乐章《圆舞曲》开始，历经第一部十二音序列音乐《钢琴组曲》（Op.25，1923），直至完成了他的《第四弦乐四重奏》（Op.37，1936）之后，他才宣称自己已经掌握了这类作品中出现的所有问题。可以想象，作曲家勋伯格即便只是一位数学爱好者，他从序列音乐创作生涯期所得到的满足感应是巨大的。对于序列音乐作曲家而言，他们好像将自己从已被过分开垦转向贫瘠的调性音乐创作荒野转瞬间置身于神所授予的富饶土地，可以尽情地在其中探究，施展自己的才华与身手。其实，对于每一代作曲家而言，他们都或多或少地构建了反映他们自己对这个数学王国理解的智力图景。他们建造了越来越机敏的智力工具，以此来开发先前未被发现的各种创作领域。⓪
一、音乐中矩阵思想的启蒙
虽“矩阵”一词最早由英国数学家西尔维斯
特（James Joseph Sylvester，1814-1897）于19世纪
（1850）提出，由凯莱（Arthur Cayley，1821-1885）奠定矩阵理论体系，但矩阵的起源可上溯至18世纪。犹太人高斯（ Johann Carl Friedrich Gauss ，
1777-1855）等人建立的“高斯-约当消元法”即已孕育了矩阵思想。矩阵，作为代数学的一个研究
对象、数学应用的一个重要工具，18世纪一经提出，便已应用广泛。贝多芬《第十二钢琴奏鸣
曲》（2S ）第四乐章便是音乐中矩阵思想的启蒙之作。
贝多芬为该乐章设计的主要乐思，即主题句的首个乐节（ 小节），其音高结构并非如谱面所见一般为音符接续音符的线性结构，而应是如图 所示，一个四行五列矩阵转置变换（WUDQVSRU‐ WDWLRQ，以下简标为“7”）的结果。结合谱 ，该矩阵的行排列①为建立在连续二度动机进行的五音音列，音列首尾强调' ,进行，这一主题特征在作品中显然被处理成隐伏的旋律声部。而谱面的直观形态则是将这一四行五列矩阵进行转置变换后，行列方向互换，原矩阵各行的首音所形成的矩阵首列，变换成新矩阵的首行，依此类推，接续成五个四音音组。通过空间转置变换后，'
上述关于贝多芬音乐的分析过程往往引起某些受众对此关于数学王国的教条描述的不满与反叛。而想要成为序列音乐的作曲家们则开始意识到，他们自己关于数学世界的看法，那些已经被抓住了的数学的某些特征，正来源于已有,进行于线性时间的过程中被结构、再重构。我们只能通过与该乐节相呼应的第二乐节（' & % $ *），才能唤起它转置前该有的模样。正所谓无形处自有真章，虽转置变换前的矩阵（尤其是首行）从未在作品中作为某一处局部进行出现过，但它却是贝多芬谋篇布局的基础，发挥了强大结构力的作用。②的教条。一旦勋伯格真正开始了自己的研究并付诸实现，哪怕是以一种反传统式“出走”和“个人化的”的方式，或是正处在数学王国里的一个极为狭小的领域里，无论乍看之下是多么荒诞怪异，这次探险旅行实际上已经开始了。序列音乐
作曲家们的创作生涯可以被描述成是在“数学的现实王国”里的一次探险旅行，他们用自己的知识架构和观念信仰正逐步解开它神秘的面纱。将数学王国中的相关领域用大量的音乐语言稀释后，那些目前还无法接受复杂概念及运算的受众，也会被音乐语汇的填饱而心满意足。
二、十二音序列音乐——数性的神圣王国与神性的唯理表达
12个音级的排列组合，多达479，001，600种。作曲家在创作伊始首要确定的序列样式，并非随机，也非偶得。在序列矩阵的设计过程中， O、R、I、RI共计48条十二音序列构建起12阶矩阵。矩阵中的第一行，即序列原型，强调的是不反复的12个半音构成音高结构，避免出现调性旋律、调性和声。然而，经历了漫长调性音乐时期，经验主义又导致我们赋予序列原型以类似主音或主题的意味，主宰着其他47条序列，使它们围绕原型具有向心力，如若此，序列音乐的创新力何在？
十二音序列作为“音乐写作的原始依据或‘预制件’，它的存在或呈现就比过去的更潜在、更隐蔽，在分析中也更难监狱一瞥之下”。深受结构主义影响的十二音序列音乐，根据勋伯格“创世”之初拟定下的序列精神，从（整体）48条序列之间的关系到作为1/48的原型序列（局部）的12个音之间，相互依存与关联又互为独立与制约的原则，始终未变。序列原型与整体矩阵之间、不同规模的分块矩阵之间，个体（局部）联系整体，整体决定个体（局部）的关系，始终未变。鉴于上述关于局部与整体的原则与关系，“进一步揭示作品在主题作用下所获得的局部与整体、表层与背景、形式与内容等多方面的有机统一即‘多态一致性’”，深入体会作曲家们对它们的形式化样态建构、内在逻辑关系的设计等方面的煞费苦心，以及蕴藏在形式中的理性结构主义思维与神圣性观念。
（一）矩阵算法与自然神论：数建有极
极，中庸之意，指规律与法则。对称均衡、单纯齐一、调和对比、多样统一，在人类理解和改造自然界的过程中，对这些源于自然界数性的神圣法则进行经验总结和抽象概括，进而成为人类创造美的内容时所遵循的形式美法则。于序列音乐而言，理解作曲家智巧所恃，是理解自然造化之妙的关键。
1.自相似性：局部与整体十二音音乐，是一种序列。所有的自相似性源于序列。序列不仅仅是微观结构上的排列，也同时体现在宏观上具有相同的排列，局部与整体包含相同的信息。十二音序列矩阵遵循矩阵一般原理，比如，矩阵中的任意两个分块矩阵，经过转置变换或经过转置变换结合初等变换相等。十二音序列矩阵又存在着其特殊性，不应机械地将矩阵整体视为零星的局部分块矩阵之和。局部（相对）与整体（相对）间的自相似性，大大提升了序列矩阵的有机性与结构主义特征。图2为勋伯格《钢琴组曲》序列矩阵图，根据矩阵运算法则，处于矩阵主对角线上的分块矩阵A可经过矩阵运算变换为分块矩阵A’。基于算法，两个矩阵表现出相对局部（分块矩阵A’）与相对整体（分块矩阵A）自相似性特征：分块矩阵A内部可进一步拆分为9个二阶分块矩阵，其中，四角上的分块矩阵均为对称矩阵。⑤截取这四个分块矩阵各自的主对角线进行组合，结果与分块矩阵A’完全对应；而截取四者各自的次对角
线进行组合，则与分块矩阵A’形成基于I2的倒影关系，⑥音程向量保持<210000>不变。
“无边的奇迹，源自简单规则的无限重复”， “自相似性”作为一个序列音乐创作的基本思想，它将提供音乐一种以极小观极大的可能，统一了有限与无限。体现这一关系的，还有作为该矩阵主、次对角线首尾对角元的四个分散的音级与全矩阵中心的二阶分块矩阵完全相同（见图4）。在韦伯恩的《交响曲》（Op.21）第二乐章《主题与
变奏》十二音序列矩阵则沿用了相同的技术（见图5）。
2.对称、均整、平衡
创作于同年较早时期，勋伯格的《五首钢琴曲》（Op.23）末乐章《圆舞曲》作为第一首序列音乐作品，如谱2所示，其序列主题原型包含由两种材料：X——由大二度与大三度音程集结而成的集合（3-6）；Y——强调半音进行的集合（3-1）。整体上还隐藏着两双呈对称分布的D-T进行，使得无调性音乐潜藏着调性因素意味。在矩阵局部与整体关系的处理之上，有着与《钢琴组曲》相似之处，且整体、局部这两者的地位还能相互转换：如图3所示，处于主对角线上的分块矩阵A
经过矩阵运算化简为与分块矩阵A’，是为整体
（矩阵A）与局部（矩阵A’）之自相似性；而矩阵A
内部又能划分为四个二阶分块矩阵，取四者主对角线进行组合，便能还原出矩阵A’整体，是为整
体（矩阵A’）与局部（矩阵A）之自相似性，具有
从分散到集中的关系。
《主题与变奏》的序列原型为以夹脊为轴，中心对称有六组半音数为6的对音（见谱4）。如谱例3所示，这一序列主题在其12个音级的接续过程中，考虑到集合截断及节奏组合等因素，主题被分
更为难得的是，这番设计还得以实现矩阵的次对角线为同一音级。加之序列矩阵中的每一行、列的其余十个音级两两之间均为相同音程数割为一个具有“呈示-对比-再现”的三部性结构。由于6是唯一能平均二分12个半音的音程数，因此P0尾音与P12的的首音势必为同一音级（其师勋伯格在《钢琴组曲》中已发现这一奥秘，见图2）。中心对称，使得全矩阵实现完全对称（见图6）。图7、图8所示的关于局部与整体的自相似性关系基础之上，又较之于图2更添对称性，分别于
主对角线维度和次对角线维度实现了完全对称。因此，不论从哪个角度出发，无论是P、R，还是I、RI，均体现出均整平衡的形式美感。
运用矩阵转置，初等变换（矩阵乘法、减法）等算法，除阴影部分的两个分块矩阵无法通过对角线实现对称以外，⑦《钢琴组曲》序列矩阵共划分出以次对角线为轴对称有一组二阶分块矩阵A，以主对角线为轴对称的5组分块矩阵（见图9）。
其中，B-B’、C-C’、D-D’这三组分块矩阵经过运算变换得以保证双方矩阵内的音级排序实现极大值不变，其余两组E-E’、F-F’均为I8倒影关系（见图10）。
《圆舞曲》序列原型（P0）内部遵循对称的、隐蔽的调性旋律D-T进行。如图11所示，以夹脊为轴，原型序列首音 C（1）与第六音 F（6）、序列末音F（5）与第七音 B（10）、第六音 F（6）与第三音B（11）、第七音B（10）与第十音E（3）这四组以音程数5为距离的对音，构建起极为对称的隐蔽调性现象。将这一局部结构放眼于整体，则序列矩阵整体上可对称均衡地出现两对方向互反而音程数相同，或，两对方向相同而音程数互为正负的行矩阵、列矩阵。再从分散与集中的角度观察该矩阵整体，如图12所示，矩阵框架四边，即P （0 R0）、I（0 RI0）P1（2 R12）、I1（2 RI12），以对称法各取
四边中心两个音级，行与行组叠，列与列相合，形成两个主对角线音级相同的二阶矩阵，两者不仅与整体矩阵中心的那一枚二阶分块矩阵同构，且，分块矩阵通过向下移位音程数5 （矩阵减法）、列分块矩阵通过向上移位音程数5（矩阵加法），均能通过运算还原至那一枚中心二阶分块矩阵。行与列，原型与倒影，局部与整体，分散与集中，加法与减法……它们在变化中对立，在对立中对称统一，整体蕴藏着内在的和谐性与平衡性。罗忠镕先生的《涉江采芙蓉》是以西方十二音技法为用，以古诗、五声音调为体创作的我国第一首十二音序列作品，十二平均律、十二音序列与五声音调彼此之间有着一种微妙的内在联系。“整个序列（包括全部四种形式）一共包含有六种调性因素。”⑧它们各自作为序列的局部截断来看，具有民族风格。而若彼在音乐的时空发展中相遇，便互相排斥，互相抵消，调性因素建立起来的这种民族风格便似有似无，模棱两可，至少在听觉层面保持了“无调性”的风格特征。其实，调性与无调性也并非完全对立，而是相对的，是可以相互转换的。如图13所示，以主对角线为轴对称的分块矩阵A与A’之间，以矩阵加法运算后变换相等。每个矩阵分别为9音集合截断（9-9），无调性为表，其内在结构实为五声音调：用两种五度相生的宫音系统：A{F宫，B宫，E宫，G宫，C宫}、A’{G宫，C宫，F宫，B宫，E宫}便能有组织地穷尽这两个9音集合分块矩阵中的所有音级。基于四阶分块矩阵A与A’，还依附着两个阶数相同，互为对称，从中各自也能分别排列组合出五度相生的宫音系统的七音集合（ 7-35 ）分块矩阵： B{ D宫，G宫，C 宫}、B’{G宫，C宫，F宫}。在音高构成上，分块矩阵B之于
分块矩阵A、B’之于A’，不仅为子集与母集，也可被视为后者宫音系统内的一部分，均为局部与整体，被包含与包含的关系。
取对称之意，以矩阵算法求得的分块矩阵A与A’，两者之间的交集便是“在作品中主要起作用的E、B、F三个调性”⑨。全曲“和声紧张度的增长到‘路’上达到了顶点”⑩。该词配乐的声乐歌唱声部与钢琴伴奏声部，不仅彰显了局部五声性，整体无调性的音高结构关系，且均与上述讨论的这几组对称性分块矩阵有关。钢琴部分最高音级G（7）与声乐部分音级F（5），分别取自于分块矩阵A与B交集矩阵、A’与B’交集矩阵的中心音级（G与F也是这两个交集矩阵中仅有的两个不变音级），继续对称曲音A（9）- D（3），C （1） G（8） -E （4）B（11 ）后，仅余两音 F（6）与 B （10）来自于序列首音与倒影序列末音。
诗人在诗中言：“同心而离居，忧伤以终老。”而作曲家则在曲中道：诗与歌、数与乐、无调性与调性“虽离居但同心”。在《涉江采芙蓉》中，看似非一阵营的双方，却并非以哪一方为底子，哪一方为镶嵌之物，而是相揉相融，浑然天成，毫无雕琢之感。相对无可奈何的诗词情感，罗老的谱曲则为我们展现了西方技法与中国传统文化之水乳交融的乐观前景，意境高远。
（二）矩阵算法与创意之神：“回到巴赫”·隐喻与文化连贯
仰法太祖，不等于因循旧制；反映他者，更需要超越自我。当年盛行的一句口号：“回到巴赫”，我们所看到的是“从他们前辈的样式与方法到他们自己的风格与表现手法的逐步变化”，是对创意之神的敬畏，是历史与美的呼应，是集体文化生命的内在传承与接续，是引领着音乐回到秩序、规则、理性和创意。“巴赫是创意之神”这一隐喻，是一种思维方式。它不仅是音乐语言修辞的问题，更应是序列音乐独特思维与行为的基础，是跨时期的映射与互文。通过隐喻，十二音序列音乐形象地表达了对音乐新形态的概念重聚，是“用新的、有启发性的方法加以解释（前人的作曲技巧）”，是“音乐资源的逻辑性的发展”。从勋伯格所“发现”的十二音矩阵构成及作品中各声部之间的关系来看，是他凭借自身的创造力与想象力，将盛行于15-17世纪的倒影、逆行、逆行倒影等对位技巧实践经验加以重新认知、激活、升华，从而引向质的飞跃的创新性结果，是对“回到巴赫”这一口号的深刻践行。序列原型一方面是序列矩阵整体形式化样态建构、内在逻辑关系、等隐性价值目的意识的显性陈述，一方面也有其作为个体特征的考虑。上述两个方面，在勋伯格为其《钢琴组曲》设计序列原型即整体矩阵过程中，显得尤为突出。
作为第一部十二音序列音乐，《钢琴组曲》毫无疑问是勋伯格献礼J·S ·巴赫之作。它不仅保留了“前奏曲”“加沃特舞曲”“吉格”等标题与体裁形式，沿用了复调化织体样式，还将巴赫本人的修辞创意——“B-A-C-H”签名视为一种观念隐喻，用作为主要的音高素材、音响结构被贯穿始终，通过隐喻赋予形式以意义。如谱5所示，基于上述对序列主题的分析，依笔者之拙见，该作品的原型序列设计应遵从以下四个步以《前奏曲》为例，该序列主题在音高结构上，主要有三种材料构成：X，半音进行；Y，增四（减五）度音程；Z：下行的小三度进行。其中，X与Z相结合便能构成集合（4-1），它们分别是B-A-C-H签名动机原型及其相聚6个半音的移位集合。而余下的材料Y所熔合而成的集合（4-9），则恰好为上述两个（4-1）集合的对称轴。骤：1.定起始音E（4），该音级取自作曲家姓名中的字母E，序列终于“B-A-C-H”姓名签名（作逆行，即11，0，9，8），隐喻为与创意之神的守望；2. “B-A-C-H”签名内在暗含了两组无轴心对称音组：B（10）+H（11）=9、A（9）+C（0）=9，那么，根据图9所推测的对称矩阵算法结构，能与起始音E相合为音程数9的，唯有F（5）；3.至此，余G（7）和D（2）、C（1）和 A（8）、F（6）和 E（3），它们两两成对，均能相合为不变量，即音程数9。在考虑这三组对称型对音位置安排的过程中，还需兼顾
两个方面：a. E（3）- A（8）作为三组对音中唯一一组能构成D-T进行的对音，依对称原则将它们置于序列正中，以隐蔽调性姿态抗衡两端E（4）- B （10）所形成的不协和音程，b.依据“不协和音的解放”理论，增四减五度音程G（7）- C（1）必然要接续在一起，同时，G（7）- C（1）也是E（4）- B（10）的
对称轴（音级G在第三首《缪塞特舞曲》中始终以持续低音声部出现）；4.基于上述步骤的安排于考虑，音级7-1、3-8这两组对音内部音级顺位问题，以及三组对称型对音的顺位问题，则需要将它们进一步放置于整体序列矩阵这个大环境中予以考虑。
如图14所示，序列矩阵中有一处格局互为对称，内容完全相同的三阶分块矩阵一对，却并非以两条对角线之一形成对称。这条对称线起于巴赫音名动机原型P（0），终于I（0）上的巴赫姓如谱6所示，作为全曲的主题，序列原型及其第11次移位，实为一个整体又相互独立的两条旋律线协调流动地展开着，在句末并置为一对“B-AC-H”签名，其中字母B和H分别落音于B（10）、E （4）和B（11）、F（5）。在全曲趋于结束之时，签名动机材料的纵向并置再次集中凸显。如谱7所示，在
20-21小节中，P0与R8分别被折叠成一个三行四列矩阵，各自内部通过矩阵算法生成列交换矩阵并引名动机移位变形。沿途音级接续对开为两组四
音集合[4-1]，均为姓名动机的移位形式。这一
“巴赫对称线”在全矩阵中，找不出第二条。曾在原型序列中以线性方式接续守望的勋伯格（音级
序号：4、5、3，集合[3-1]）与巴赫（音级序号：9、10、11集合[3-1]），此时以矩阵思维方式，两位伟大
的作曲家超越了时间与空间的限制集合为一个整体。依据如此算法与布局，前文中关于原型序列几处音级排列的问题，终归会引刃而解，会有它们自己的命运和着落。发对称。被框定的分块矩阵即为“B-A-C-H”签名，字母B和H相对应的音级（3、4、5、9、10、11）依旧没有逾越整体序列矩阵中由“巴赫对称线”分割的两组三阶矩阵。序列中的不协和音程，则被用作矩阵对称轴（矩阵中标记为阴影部分）加以强调。因此，在第21小节中，理应被折叠成3-2-4-5/7-1-8-11/60-10-9的R8序列进行了调整，以保证6-0/7-1这两组增四减五度音程对子处于中轴。
（三）矩阵算法与十字符号：被隐藏的信仰象征
亚里士多德曾说：“每个隐喻都是一个迷，创造一个好的隐喻就是发现相似之处。”当勋伯格的《前奏曲》与巴赫的《前奏曲》两者之间的相似性能被解释，“巴赫是创意之神”便能升格为隐喻。理解《钢琴组曲》中这一隐喻的过程就是解谜的过程。隐喻，让人费思量的意义之迷，在该作品中却作为一种凸显的修辞手段。然，象征，即以一种看得见的符码来表现看不见的事物或意义，出之于约定俗成，相较于迷雾的隐喻，理应要直白地多，却在《钢琴组曲》中被隐藏。序列原型设计结合整体矩阵算法，在倒影、逆行、对称等基本手段的共同作用之下，序列音乐才得以幻化成视觉维度上的十字符号、听觉维度中的十字结构以及整体作品之十字象征（见图6—8、11—12、14）。如前文所述，作曲家将隐含调性结构意味的 E（3）- A（8）放置于P0中轴，那么同样的，序列P11、I0、I11的中轴也会出现相同形式的一组对音。如图15所示，分别摞起矩阵的行（原型及其移位）、列（倒影及其移位）上的这些对音，便能得到两个形式相同，自身内部呈可逆结构，双方呈I2倒影关系的四音集合[4-9]（0，1， 6，7）。四组对音，两组四音集合，将12个音级拆分为四等份。而穿越这一枚十字架的，正是连接着巴赫与勋伯格的姓名动机对角线B（10）-E（4）及它们的对称轴G（7）- C（1）。
矩阵中构建起来的这一双十字星，是作曲家于设计序列之初便已对其注入逻辑意识、价值意识与目的意识的结果，它必然会在音响中有所显现。与其它段落中注重姓名动机素材持续贯穿、依赖旋律线条作模仿式对位之有所不同的是，《钢琴组曲》之《前奏曲》的再现段有意凸显节奏与单对位技巧等方面来强化主题的一致性。如谱8所示，由单音纵向结合成音程，使之成为更饱满的音点。音点争相而起接续而成的和声旋律，调动出音与音之间余韵相接的灵动与气魄。相较于抒情延展的呈示部，再现部显得动力性十足，体现了作曲家对钢琴语言与戏剧张力的把控。肆意洒脱的音乐形象之下，是始终被作曲家精准掌控的音高结构，是双十字星符号的显现。谱例中阴影部分，即音级7-1、4-10，这两组对音在节奏上明显与其它疏离，尤以音级G- C（7-1）格外独醒与自处，旨在构成独立于两个四音集合所建构的十字架之外，自成十字音高结构（见图16）。此外，勋伯格还广泛运用纵向可移动对位技术来处理“B-A-C-H”姓名动机及其移位于声部间的关系，结合音区显著变化，凸显十字交叉音响聆听体验（见图17）。
结语
理是乐的手段，乐是理的显现。序列音乐话语的隐喻与象征性质，已然带来了跨学科研究的可能。进一步将数值分析领域的重要问题，诸如不变量、矩阵运算等引入对序列音乐之本体部分的系统性研究，则更有助于将深埋于抽象理式中的隐形结构变成显性结构，对许多原本应该把握却漫漶不清的问题给予论证的可能，有助于经验性传播与再造。那些尊重历史，尊重自然规律，运算正确，逻辑通畅，结构缜密，饱含理想和信仰的十二音序列矩阵及经典序列音乐作品，于音乐史中应堪称完美。
作者附言：本文为2017年度国家社科基金艺术学一般项目“神圣简约主义音乐研究”阶段性成果（项目编号：17BD080）。（责任编辑 张 璟）