La sfida (im)possibile Contare i numeri primi

Il 24 settembre Sir Michael Atiyah, studioso novantenne, pluripremiato, ha annunciato di avere dimostrato la Congettura di Riemann: questione aperta da quasi 160 anni. In attesa di sapere se è davvero così, ecco di cosa si tratta

Qualche settimana fa la comunità internazionale dei matematici è stata scossa da un annuncio sorprendente: Sir Michael Atiyah, pluripremiato matematico di quasi 90 anni, in una conferenza ad Heidelberg ha sostenuto di avere finalmente dimostrato la Congettura di Riemann, uno dei più difficili problemi aperti di tutta la matematica.

Proviamo a spiegare di che cosa si tratta. Ricordiamo che i numeri primi sono quegli interi positivi come 2, 3, 5, 7, 11, che hanno esattamente due divisori, e cioè sé stessi e il numero 1. Per inciso, è preferibile non considerare primo il numero 1, perché questo costringerebbe a dare molte definizioni successive, necessarie nella teoria dei numeri primi, in modo piuttosto scomodo. Già i matematici greci del tempo di Euclide (III secolo a.C.) sapevano che esistono infiniti numeri primi, cioè che la lista data qui sopra prosegue senza limite. Una domanda ragionevole è: quanti sono i numeri primi fino a mille? Un milione? Un miliardo? C’è un modo per rispondere senza doverli elencare tutti? Anche avendo a disposizione un computer potentissimo, è chiaro che alzando l’asticella troviamo presto un limite invalicabile, una quantità per la quale una risposta diretta a questa domanda è impossibile.

Se invece ci accontentiamo di una risposta abbastanza precisa, non del tutto esatta ma non troppo difficile da calcolare, possiamo usare una formula scoperta alla fine del XVIII secolo da un giovanissimo matematico tedesco, Carl Friedrich Gauss. Gauss aveva il curioso passatempo di contare il numero di numeri primi in intervalli di mille interi consecutivi e, sul- la base dei dati raccolti pazientemente per anni, aveva notato che la sua formula, scoperta quando era ancora adolescente, pur non essendo esatta era piuttosto accurata. Per dare una prospettiva al nostro discorso, è utile ricordare che, nella sua lunga e fecondissima vita di matematico, Gauss non è riuscito a dimostrare rigorosamente che la sua formula, pur nei suoi limiti, sia sostanzialmente giusta.

La dimostrazione è arrivata solo alla fine del XIX secolo e si basa in modo essenziale sulle idee esposte da Georg Bernhard Riemann in un brevissimo articolo pubblicato nel 1859. Gli articoli scritti in riviste specializzate sono il mezzo con cui i matematici comunicano ricerche e scoperte: contengono i calcoli, o almeno una parte significativa, che servono a dare una dimostrazione formale dei teoremi enunciati, in modo da convincere i colleghi della correttezza dei risultati. Riemann, tra i giganti della matematica di tutti i tempi, a differenza dei suoi predecessori ha scritto pochissimi articoli nella sua vita relativamente breve e tormentata dalla malattia, ma ciascuno di questi articoli ha aperto un nuovo campo della matematica, dall’analisi complessa alla geometria differenziale alla teoria dei nu- meri di cui parliamo qui. Una sola tra le molte affermazioni contenute nell’articolo di Riemann del 1859 non è stata dimostrata, da lui stesso o da altri matematici. Si tratta appunto della Congettura di Riemann, che, in attesa della conferma della validità della strategia abbozzata da Atiyah, resta ancora oggi aperta, a quasi 160 anni dalla sua prima formulazione.

Come abbiamo ricordato sopra, Gauss ha proposto una formula per contare, approssimativamente, quanti sono i numeri primi più piccoli di un certo numero molto grande. La formula è relativamente semplice da calcolare ma non è esatta: le sue previsioni sono corrette entro un certo intervallo. È un po’ come prevedere che domenica prossima a mezzogiorno ci sarà una temperatura di 20 gradi, con un errore in più o in meno di un grado. A voler essere pignoli, Gauss non è riuscito a determinare l’ampiezza di questo intervallo di indeterminazione, anche se è chiaro da quanto ha scritto in alcune lettere che si rendeva conto di aver scoperto una formula molto accurata. L’obiettivo principale di Riemann era appunto riuscire a valutare con precisione la bontà della formula di Gauss. In particolare, se vale la Congettura di Riemann, è possibile ridurre moltissimo l’incertezza, cioè l’ampiezza dell’intervallo fra il valore esatto e quello dato dalla formula di Gauss: tornando alla metafora qui sopra, è come predire che la temperatura sarà di 20 gradi, con un errore in più o in meno di un centesimo di grado.

Ci si può chiedere come mai si investa tempo a cercarne la dimostrazione: nella matematica avrebbe conseguenze non solo sul problema di come sono distribuiti i numeri primi, che è interessante di per sé, ma le tecniche dimostrative sarebbero applicabili ad altri problemi. Inoltre, molte dimostrazioni sarebbero enormemente semplificate. A molti di noi capita spesso di dover enunciare due versioni dei propri teoremi, la più interessante delle quali è preceduta dalla fatidica frase «Supponiamo che sia vera la Congettura di Riemann». In generale, inoltre, occuparsi di numeri primi, nel XXI secolo, è utile non solo per una ristretta cerchia di matematici. Per esempio oggi sappiamo che ci sono abbastanza numeri primi per far funzionare i protocolli crittografici con i livelli di sicurezza dei dati adeguati alla vita moderna.

Tornando ad Atiyah, chi in questi giorni ha provato a cercare reazioni in rete, avrà notato una robusta dose di scetticismo. Trattandosi di una novità potenzialmente rivoluzionaria, la dimostrazione sarà sottoposta a un esame rigorosissimo, perché affermazioni straordinarie richiedono dimostrazioni altrettanto straordinarie. In questo momento è impossibile prendere posizione, dato che il professor Atiyah ha distribuito solo un sunto di 5 pagine, insufficiente per farsi un’idea precisa della dimostrazione completa: verosimilmente sarà lunga almeno un centinaio di pagine e sarà sottoposta al più scrupoloso vaglio degli esperti.

La cautela non dipende dall’età di Sir Michael: Leopold Vietoris, un matematico austriaco, ha pubblicato un articolo di ricerca quando aveva 103 anni. La visione tradizionale della matematica come sport per giovani è sempre più difficile da sostenere: i matematici attivi ben oltre l’età della pensione crescono senza sosta.

In conclusione, cosa cambia nella vita quotidiana di tutti noi? Poco o nulla: non dovremo cambiare le password, non è in pericolo la sicurezza dei protocolli crittografici che più o meno consapevolmente usiamo tutti i giorni. Cambia qualcosa per qualche centinaio di persone nel mondo che, nei congressi specializzati, non dovranno sentire i colleghi iniziare le conferenze con la frase «Supponiamo che sia vera la Congettura di Riemann». Ma il desiderio di conoscere se c’è qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi sembra andare oltre la comunità degli specialisti, come dimostra l’interesse emerso nelle ultime settimane.

Nell’Ottocento Riemann propose nel 1859 un’ipotesi per sapere, in modo abbastanza preciso, quanti sono i numeri primi in intervalli molto grandi